Encontre a antiderivada f(t), quando:
\left\{\begin{array}{l}f^{\prime \prime}(t)=\frac{1}{t^{2}} \\\ f(1)=0 \\\ f(2)=0 \\\ \text { sendo: } t>0 \text {. }\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine f(t) em t>0 sabendo que
f''(t)=\frac1{t^2},
com as condições de contorno f(1)=0 e f(2)=0. O conteúdo aqui é resolução de uma EDO de segunda ordem por integração dupla, ajustando constantes pelos valores dados.

Passo 2

Integramos a segunda derivada para obter f'(t). Usamos a fórmula de potência
\int t^{n}dt = \frac{t^{n+1}}{n+1}\quad(n\neq-1).
No nosso caso n=-2, então
f'(t)=\int t^{-2}dt = \frac{t^{-1}}{-1} + C_{1} = -\frac1t + C_{1}.

Passo 3

Agora integramos f'(t) para achar f(t). Temos
f(t)=\int\Bigl(-\frac1t + C_{1}\Bigr)dt = -\int \frac{1}{t}dt + C_{1}\int dt = -\ln t + C_{1}\,t + C_{2},
onde C_{1} e C_{2}$ são constantes de integração.ãçã

Passo 4

Aplicamos as condições f(1)=0 e f(2)=0 para determinar C_{1} e C_{2}.
Em t=1:
f(1) = -\ln1 + C_{1}\cdot1 + C_{2} = 0 \;\Longrightarrow\; 0 + C_{1}+C_{2}=0 \;\Longrightarrow\; C_{2}=-C_{1}.
Em t=2:
f(2) = -\ln2 + C_{1}\cdot2 + C_{2} = 0 \;\Longrightarrow\; -\ln2 +2C_{1} + C_{2}=0.
Substituindo C_{2}=-C_{1}:
- \ln2 +2C_{1} - C_{1} = 0 \;\Longrightarrow\; C_{1} = \ln2,
logo C_{2} = -\ln2.

Resposta

f(t) = -\ln t + (\ln2)\,t - \ln2.

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