Nos problemas 20 e 21, use o teorema de Green para calcular a integral de linha dada.
oint_{c}\left(x+y^{2}\right) d x+\left(2 x^{2}-y\right) d y, onde C é o contorno da região determinada pelos gráficos y= x^{2} e y=4

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \oint_{C}(x+y^{2})\,dx + (2x^{2}-y)\,dy
onde C é o contorno positivamente orientado da região R limitada por y=x^{2} e y=4.
O conteúdo é o Teorema de Green, que converte a integral de linha num duplo integral sobre R.

Passo 2

Pelo Teorema de Green,
\oint_{C}P\,dx + Q\,dy \;=\;\iint_{R}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA,
onde P(x,y)=x+y^{2} e Q(x,y)=2x^{2}-y.
Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x}=4x, \quad \frac{\partial P}{\partial y}=2y.
Logo o integrando é 4x-2y.

Passo 3

A região R pode ser descrita por -2\le x\le 2 e x^{2}\le y\le 4.
Assim o duplo integral fica
\iint_{R}(4x-2y)\,dA =\int_{x=-2}^{2}\!\!\int_{y=x^{2}}^{4}(4x-2y)\,dy\,dx.

Passo 4

Calcule a integral interna em y:
\int_{y=x^{2}}^{4}(4x-2y)\,dy =\bigl[4x\,y - y^{2}\bigr]_{y=x^{2}}^{4} =16x-16 \;-\;(4x^{3}-x^{4}) =x^{4}-4x^{3}+16x-16.

Passo 5

Agora integramos em x:
\int_{-2}^{2}\bigl(x^{4}-4x^{3}+16x-16\bigr)\,dx =\int_{-2}^{2}x^{4}dx -\int_{-2}^{2}4x^{3}dx +\int_{-2}^{2}16x\,dx -\int_{-2}^{2}16\,dx.
Calculando cada termo:
\int_{-2}^{2}x^{4}dx=\frac{64}{5},\quad \int_{-2}^{2}4x^{3}dx=0,\quad \int_{-2}^{2}16x\,dx=0,\quad \int_{-2}^{2}16\,dx=64.
Somando, obtém-se
\frac{64}{5}-64 =-\frac{256}{5}.

Resposta

-\frac{256}{5}

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