Calcule integral triplaT(x z-y^3) d V, onde T=(x, y, z) mid-1 <= x <= 1, 0 <= y <= 2, 0 <= z <= 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
integral triplaTl(xz - y^3r),dV
sobre o paralelepípedo T=(x,y,z)mid -1<= x<=1,;0<= y<=2,;0<= z<=1.
O conteúdo é integração múltipla em coordenadas cartesianas, usando linearidade e o Teorema de Fubini para separar em integrais simples.

Passo 2

Pela linearidade da integral, escrevemos
integral triplaT(xz - y^3),dV =integral triplaTxz,dV ;-;integral triplaTy^3,dV

Passo 3

Calculamos a parte integral triplaTxz,dV. Pelo Teorema de Fubini,
integral triplaTxz,dV =integral-1^1x,dx;integral0^2dy;integral0^1z,dz
Aqui integral-1^1x,dx=0, então
integral triplaTxz,dV = 0

Passo 4

Agora a parte integral triplaTy^3,dV. De novo por Fubini,
integral triplaTy^3,dV =integral-1^1dx;integral0^2y^3,dy;integral0^1dz
Calculamos cada uma:
integral-1^1dx = 2,
integral0^2y^3,dy = l[tfracy^44r]0^2 = 4,
integral0^1dz = 1.
Logo
integral triplaTy^3,dV = 2 times 4 times 1 = 8

Passo 5

Substituindo no resultado total:
integral triplaT(xz - y^3),dV = 0 - 8 = -8

Resposta

-8

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