Nos problemas 21-27, resolva o problema de valor inicial dado.
,
Passo 1
O enunciado fornece o problema de valor inicial:
- Equação diferencial:
. - Condições iniciais:
e .
O que é pedido: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais.
Passo 2
Transformar a equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes em uma equação algébrica chamada equação característica. Para isso, substitui-se
(uma tentativa padrão para esse tipo de equação) e obtém-se a equação para
:
Agora vamos resolver essa equação quadrática. O discriminante é
Como
, as raízes são complexas conjuntas. Calculando:
Explicação didática (por que isso importa): quando a equação característica tem raízes complexas
, a solução geral real da equação diferencial é dada por
porque
pela fórmula de Euler, e combinações lineares das partes real e imaginária geram as soluções reais necessárias. Aqui
e
.
Passo 3
Usando o resultado do passo anterior, escrevemos a solução geral (com constantes arbitrárias
e
):
Comentário rápido sobre o papel das constantes:
e
serão determinados pelas condições iniciais. Elas representam a combinação linear das soluções fundamentais que satisfazem as condições iniciais específicas do problema.
Passo 4
Vamos calcular
cuidadosamente para aplicar a condição
. Usamos a regra do produto e a derivada das funções trigonométricas:
Começando de ,
Começando de
As derivadas são
,
e
. Substituindo:
Fatorando
e agrupando termos em
e
:
Passo 5
Aplicar as condições iniciais para determinar
e
.
Primeira condição:
. Avaliando
em
:
Logo
Segunda condição:
. Avaliando
em
:
Portanto
Como já sabemos
, obtemos
Passo 6
Feitas as contas para as constantes, temos
e
. (Não repito a solução final nesta etapa; a solução final é apresentada abaixo.)