Nos problemas 21-27, resolva o problema de valor inicial dado.
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2 y=0 ; y(0)=2, y^{\prime}(0)=1

Passo 1

O enunciado fornece o problema de valor inicial:
  • Equação diferencial: y''+2y'+2y=0.
  • Condições iniciais: y(0)=2 e y'(0)=1.
O que é pedido: encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais.

Passo 2

Transformar a equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes em uma equação algébrica chamada equação característica. Para isso, substitui-se y(t)=e^{rt} (uma tentativa padrão para esse tipo de equação) e obtém-se a equação para r:
r^{2}+2r+2=0.
Agora vamos resolver essa equação quadrática. O discriminante é
\Delta = 2^{2}-4\cdot1\cdot2 = 4-8 = -4.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjuntas. Calculando:
r=\frac{-2\pm\sqrt{-4}}{2} = -1 \pm i.
Explicação didática (por que isso importa): quando a equação característica tem raízes complexas \alpha\pm i\beta, a solução geral real da equação diferencial é dada por
y(t)=e^{\alpha t}\big(C_{1}\cos(\beta t)+C_{2}\sin(\beta t)\big),
porque e^{(\alpha\pm i\beta)t}=e^{\alpha t}(\cos(\beta t)\pm i\sin(\beta t)) pela fórmula de Euler, e combinações lineares das partes real e imaginária geram as soluções reais necessárias. Aqui \alpha=-1 e \beta=1.

Passo 3

Usando o resultado do passo anterior, escrevemos a solução geral (com constantes arbitrárias C_{1} e C_{2}):
y(t)=e^{-t}\big(C_{1}\cos t + C_{2}\sin t\big).
Comentário rápido sobre o papel das constantes: C_{1} e C_{2} serão determinados pelas condições iniciais. Elas representam a combinação linear das soluções fundamentais que satisfazem as condições iniciais específicas do problema.

Passo 4

Vamos calcular y'(t) cuidadosamente para aplicar a condição y'(0)=1. Usamos a regra do produto e a derivada das funções trigonométricas:
Começando de y(t)=e^{-t}\big(C_{1}\cos t + C_{2}\sin t\big),
y'(t) = \frac{d}{dt}\big(e^{-t}\big)\big(C_{1}\cos t + C_{2}\sin t\big) + e^{-t}\frac{d}{dt}\big(C_{1}\cos t + C_{2}\sin t\big).
As derivadas são \frac{d}{dt}e^{-t}=-e^{-t}, \frac{d}{dt}\cos t=-\sin t e \frac{d}{dt}\sin t=\cos t. Substituindo:
y'(t) = -e^{-t}\big(C_{1}\cos t + C_{2}\sin t\big) + e^{-t}\big(-C_{1}\sin t + C_{2}\cos t\big).
Fatorando e^{-t} e agrupando termos em \cos t e \sin t:
y'(t) = e^{-t}\big((C_{2}-C_{1})\cos t - (C_{1}+C_{2})\sin t\big).

Passo 5

Aplicar as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}.
Primeira condição: y(0)=2. Avaliando y(t) em t=0:
y(0)=e^{0}\big(C_{1}\cos 0 + C_{2}\sin 0\big)=1\cdot(C_{1}\cdot1 + C_{2}\cdot0)=C_{1}.
Logo
C_{1}=2.
Segunda condição: y'(0)=1. Avaliando y'(t) em t=0:
y'(0)=e^{0}\big((C_{2}-C_{1})\cos 0 - (C_{1}+C_{2})\sin 0\big)=(C_{2}-C_{1})\cdot1 - (C_{1}+C_{2})\cdot0 = C_{2}-C_{1}.
Portanto
C_{2}-C_{1}=1.
Como já sabemos C_{1}=2, obtemos
C_{2}=1+C_{1}=1+2=3.

Passo 6

Feitas as contas para as constantes, temos C_{1}=2 e C_{2}=3. (Não repito a solução final nesta etapa; a solução final é apresentada abaixo.)

Resposta

y(t)=e^{-t}\big(2\cos t + 3\sin t\big)

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