Nos Problemas 21-30, utilize a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
y^{\prime \prime}-y^{\prime}=e^{\prime} \cos t, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0

Passo 1

Vou listar exatamente o que o enunciado dá e o que ele pede (vou assumir que há uma pequena tipografia no enunciado: interpreto e^{\prime}\cos t como e^{t}\cos t; isso é o mais comum nesse tipo de exercício).
  • Equação diferencial ordinária (PVI):
y^{\prime\prime}-y^{\prime}=e^{t}\cos t.
  • Condições iniciais:
y(0)=0,\qquad y^{\prime}(0)=0.
O objetivo é encontrar a função y(t) que satisfaz a equação e as condições iniciais, usando a transformada de Laplace.

Passo 2

Breve aula rápida e prática sobre a transformada de Laplace (para você lembrar na prova):
  • Definição da transformada de Laplace de uma função f(t) (com t\ge0):
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt,
onde s é a variável complexa da imagem (na prática, tratamos s como real e maior que alguma constante para convergência). A transformada converte funções de t em funções de s.
  • Propriedades úteis (essenciais para resolver PVI):
    • Linearidade: \mathcal{L}\{a f + b g\} = a\mathcal{L}\{f\} + b\mathcal{L}\{g\}.
    • Transformada de derivadas (para y=y(t) com transformada Y(s)=\mathcal{L}\{y\}(s)): \mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
  • Deslocamento/exponencial: para a,b reais, \mathcal{L}\{e^{at}\cos(bt)\}=\frac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}}, \qquad \mathcal{L}\{e^{at}\sin(bt)\}=\frac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}.
Esses resultados permitem transformar a EDO em uma equação algébrica em s, resolver para Y(s) e depois aplicar a transformada inversa para obter y(t).

Passo 3

Aplicar a transformada de Laplace na equação inteira.
  • Transformando termo a termo e usando as condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0:
\mathcal{L}\{y''\}-\mathcal{L}\{y'\}=\mathcal{L}\{e^{t}\cos t\}.
  • Substituindo as fórmulas das derivadas:
\big(s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\big)-\big(sY(s)-y(0)\big)=\mathcal{L}\{e^{t}\cos t\}.
Como y(0)=0 e y'(0)=0, isso simplifica para
s^{2}Y(s)-sY(s)=\mathcal{L}\{e^{t}\cos t\}.
Fatorando Y(s) na esquerda:
s(s-1)Y(s)=\mathcal{L}\{e^{t}\cos t\}.

Passo 4

Calcular \mathcal{L}\{e^{t}\cos t\} e isolar Y(s).
  • Usando a fórmula do deslocamento com a=1 e b=1:
\mathcal{L}\{e^{t}\cos t\}=\frac{s-1}{(s-1)^{2}+1}.
  • Então
Y(s)=\frac{\dfrac{s-1}{(s-1)^{2}+1}}{s(s-1)} =\frac{s-1}{s(s-1)\big((s-1)^{2}+1\big)}.
Podemos cancelar o fator s-1 (álgebra simples), obtendo
Y(s)=\frac{1}{s\big((s-1)^{2}+1\big)}.

Passo 5

Fazer decomposição em frações parciais para inverter a transformada.
  • Procuramos escrever
\frac{1}{s\big((s-1)^{2}+1\big)}=\frac{A}{s}+\frac{Bs+C}{(s-1)^{2}+1}.
Multiplicando ambos os lados por s\big((s-1)^{2}+1\big) obtemos a identidade polinomial
1=A\big((s-1)^{2}+1\big)+(Bs+C)s.
Expandindo (s-1)^{2}+1=s^{2}-2s+2, temos
1=A(s^{2}-2s+2)+Bs^{2}+Cs=(A+B)s^{2}+(-2A+C)s+2A.
Igualando coeficientes em ambos os lados:
  • coeficiente de s^{2}: A+B=0 \Rightarrow B=-A,
  • coeficiente de s: -2A+C=0 \Rightarrow C=2A,
  • termo constante: 2A=1 \Rightarrow A=\tfrac{1}{2}.
    Logo B=-\tfrac{1}{2} e C=1.
  • Portanto a decomposição é
Y(s)=\frac{1/2}{s}+\frac{-\tfrac{1}{2}s+1}{(s-1)^{2}+1}.
  • Reescrevendo o numerador do segundo termo em função de s-1 (para usar a forma padrão das transformadas):
-\tfrac{1}{2}s+1=-\tfrac{1}{2}(s-1)+\tfrac{1}{2}.
Assim
Y(s)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s}-\frac{1}{2}\cdot\frac{s-1}{(s-1)^{2}+1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{(s-1)^{2}+1}.

Passo 6

Aplicar a transformada inversa termo a termo, usando as fórmulas conhecidas.
  • Inversas usadas:
    • \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s}\}=1.
    • \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{s-1}{(s-1)^{2}+1}\}=e^{t}\cos t.
    • \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{(s-1)^{2}+1}\}=e^{t}\sin t.
  • Aplicando:
y(t)=\frac{1}{2}\cdot 1-\frac{1}{2}\,e^{t}\cos t+\frac{1}{2}\,e^{t}\sin t.
  • Podemos escrever de modo mais compacto:
y(t)=\tfrac{1}{2}\Big(1-e^{t}\cos t+e^{t}\sin t\Big) =\tfrac{1}{2}\Big(1-e^{t}(\cos t-\sin t)\Big).

Passo 7

Verificação rápida das condições iniciais (controlinho para deixar você confiante):
  • y(0)=\tfrac{1}{2}\big(1-e^{0}(1-0)\big)=\tfrac{1}{2}(1-1)=0.
  • Derivando y(t) e avaliando em t=0 obtém-se y'(0)=0 (pode-se conferir diretamente derivando termo a termo).
    Portanto a solução satisfaz as condições iniciais.

Resposta

y(t)=\tfrac{1}{2}\Big(1-e^{t}\cos t+e^{t}\sin t\Big)

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