Nos Problemas 21-30, utilize a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
Passo 1
Vou listar exatamente o que o enunciado dá e o que ele pede (vou assumir que há uma pequena tipografia no enunciado: interpreto
como
; isso é o mais comum nesse tipo de exercício).
- Equação diferencial ordinária (PVI):
- Condições iniciais:
O objetivo é encontrar a função
que satisfaz a equação e as condições iniciais, usando a transformada de Laplace.
Passo 2
Breve aula rápida e prática sobre a transformada de Laplace (para você lembrar na prova):
- Definição da transformada de Laplace de uma função
(com ):
onde
é a variável complexa da imagem (na prática, tratamos
como real e maior que alguma constante para convergência). A transformada converte funções de
em funções de
.
- Propriedades úteis (essenciais para resolver PVI):
- Linearidade:
. - Transformada de derivadas (para
com transformada ):
- Linearidade:
- Deslocamento/exponencial: para
reais,
Esses resultados permitem transformar a EDO em uma equação algébrica em
, resolver para
e depois aplicar a transformada inversa para obter
.
Passo 3
Aplicar a transformada de Laplace na equação inteira.
- Transformando termo a termo e usando as condições iniciais
e :
- Substituindo as fórmulas das derivadas:
Como
e
, isso simplifica para
Fatorando
na esquerda:
Passo 4
Calcular
e isolar
.
- Usando a fórmula do deslocamento com
e :
- Então
Podemos cancelar o fator
(álgebra simples), obtendo
Passo 5
Fazer decomposição em frações parciais para inverter a transformada.
- Procuramos escrever
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade polinomial
Expandindo
, temos
Igualando coeficientes em ambos os lados:
- coeficiente de
: , - coeficiente de
: , - termo constante:
.
Logoe . - Portanto a decomposição é
- Reescrevendo o numerador do segundo termo em função de
(para usar a forma padrão das transformadas):
Assim
Passo 6
Aplicar a transformada inversa termo a termo, usando as fórmulas conhecidas.
- Inversas usadas:
-
- Aplicando:
- Podemos escrever de modo mais compacto:
Passo 7
Verificação rápida das condições iniciais (controlinho para deixar você confiante):
-
. - Derivando
e avaliando em obtém-se (pode-se conferir diretamente derivando termo a termo).
Portanto a solução satisfaz as condições iniciais.