Nos Problemas 21-30, utilize a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado. y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=r^{3}, \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0
Passo 1
O problema pede para resolver a seguinte equação diferencial ordinária com condições iniciais, usando transformada de Laplace:
A equação diferencial é de segunda ordem, linear, com coeficientes constantes.
O lado direito é a função r^{3}.
As condições iniciais em r=0 são y(0)=1 e y'(0)=0.
O objetivo é encontrar y(r) para r\ge 0.
Passo 2
Rápida aula sobre a transformada de Laplace (útil para a prova):
Define-se a transformada de Laplace de uma função f(r) por \mathcal{L}\{f(r)\}=F(s)=\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-sr}f(r)\,dr.
Propriedades que vamos usar:\mathcal{L}\{y'(r)\}=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(r)\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0),
onde Y(s)=\mathcal{L}\{y(r)\}.
Transformada de potências (fórmula padrão, muito útil):\mathcal{L}\{r^{n}\}=\frac{n!}{s^{\,n+1}}\quad\text{(para \(n\) inteiro não negativo)}.
Linearidade: \mathcal{L}\{af+bg\}=a\mathcal{L}\{f\}+b\mathcal{L}\{g\}.
Essas fórmulas servem para transformar a EDO em uma equação algébrica em s, resolver para Y(s) e depois inverter a transformada para obter y(r).
Passo 3
Aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação:
Multiplicando ambos os lados por s^{4}(s-2)^{2} obtemos a identidade polinomial
6=A s^{3}(s-2)^{2}+B s^{2}(s-2)^{2}+C s (s-2)^{2}+D (s-2)^{2}+E s^{4}(s-2)+F s^{4}.
Passo 6
Determinar os coeficientes de forma prática:
Tomando s=0 (anula termos com fator s):6=D( -2)^{2}=4D \quad\Rightarrow\quad D=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}.
Tomando s=2 (anula termos com fator s-2):6=F\cdot 2^{4}=16F \quad\Rightarrow\quad F=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}.
Agora fazemos expansão e igualamos coeficientes dos termos em potências de s. Expandindo os termos (mostrando apenas o necessário) e coletando os coeficientes de s^{5},s^{4},s^{3},s^{2},s, s^{0} obtemos o sistema (os coeficientes de s^{1} e a constante já confirmam alguns valores):
Do termo em s^{1} vem 4C-4D=0 → C=D. Então C=\dfrac{3}{2}.
Do termo em s^{5} vem A+E=0 → E=-A.
Do termo em s^{3} vem 4A-4B+C=0 → 4A-4B+\dfrac{3}{2}=0 ⇒ A-B=-\dfrac{3}{8}.
Do termo em s^{4} vem -4A+B-2E+F=0. Substituindo E=-A e F=\dfrac{3}{8} dá -4A+B+2A+\dfrac{3}{8}=0 ⇒ -2A+B+\dfrac{3}{8}=0 ⇒ B=2A-\dfrac{3}{8}.
Agora resolver A-B=-\dfrac{3}{8} com B=2A-\dfrac{3}{8}: