Nos Problemas 21-30, utilize a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=r^{3}, \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O problema pede para resolver a seguinte equação diferencial ordinária com condições iniciais, usando transformada de Laplace:
y''(r)-4y'(r)+4y(r)=r^{3},\qquad y(0)=1,\qquad y'(0)=0.
Informações dadas:
  • A equação diferencial é de segunda ordem, linear, com coeficientes constantes.
  • O lado direito é a função r^{3}.
  • As condições iniciais em r=0 são y(0)=1 e y'(0)=0.
    O objetivo é encontrar y(r) para r\ge 0.

Passo 2

Rápida aula sobre a transformada de Laplace (útil para a prova):
  • Define-se a transformada de Laplace de uma função f(r) por \mathcal{L}\{f(r)\}=F(s)=\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-sr}f(r)\,dr.
  • Propriedades que vamos usar: \mathcal{L}\{y'(r)\}=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(r)\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0),
onde Y(s)=\mathcal{L}\{y(r)\}.
  • Transformada de potências (fórmula padrão, muito útil): \mathcal{L}\{r^{n}\}=\frac{n!}{s^{\,n+1}}\quad\text{(para \(n\) inteiro não negativo)}.ã
  • Linearidade: \mathcal{L}\{af+bg\}=a\mathcal{L}\{f\}+b\mathcal{L}\{g\}.
    Essas fórmulas servem para transformar a EDO em uma equação algébrica em s, resolver para Y(s) e depois inverter a transformada para obter y(r).

Passo 3

Aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação:
\mathcal{L}\{y''\}-4\mathcal{L}\{y'\}+4\mathcal{L}\{y\}=\mathcal{L}\{r^{3}\}.
Usando as fórmulas das derivadas e as condições iniciais y(0)=1,\\ y'(0)=0:
\big(s^{2}Y(s)-s\cdot 1 - 0\big)-4\big(sY(s)-1\big)+4Y(s)=\frac{3!}{s^{4}}=\frac{6}{s^{4}}.
Agora simplificar o lado esquerdo:
\big(s^{2}-4s+4\big)Y(s)-s+4=\frac{6}{s^{4}}.
Como s^{2}-4s+4=(s-2)^{2}, obtemos:
(s-2)^{2}Y(s)=\frac{6}{s^{4}}+s-4.
Logo
Y(s)=\frac{6/s^{4}+s-4}{(s-2)^{2}}.

Passo 4

Separe Y(s) em duas parcelas para inverter mais facilmente:
Y(s)=\underbrace{\frac{6}{s^{4}(s-2)^{2}}}_{\displaystyle Y_{1}(s)}\;+\;\underbrace{\frac{s-4}{(s-2)^{2}}}_{\displaystyle Y_{2}(s)}.
Vamos inverter \mathcal{L}^{-1} de cada parcela separadamente.
Primeiro trate Y_{2}(s). Reescreve-se:
\frac{s-4}{(s-2)^{2}}=\frac{(s-2)-2}{(s-2)^{2}}=\frac{1}{s-2}-\frac{2}{(s-2)^{2}}.
Aplicando inversa:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s-2}\right\}=e^{2r},\qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s-2)^{2}}\right\}=r e^{2r}.
Portanto
y_{2}(r)=e^{2r}-2r e^{2r}.

Passo 5

Agora invertemos Y_{1}(s)=\dfrac{6}{s^{4}(s-2)^{2}}. A estratégia que escolhi é decompor em frações parciais da forma
\frac{6}{s^{4}(s-2)^{2}}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s^{2}}+\frac{C}{s^{3}}+\frac{D}{s^{4}}+\frac{E}{s-2}+\frac{F}{(s-2)^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por s^{4}(s-2)^{2} obtemos a identidade polinomial
6=A s^{3}(s-2)^{2}+B s^{2}(s-2)^{2}+C s (s-2)^{2}+D (s-2)^{2}+E s^{4}(s-2)+F s^{4}.

Passo 6

Determinar os coeficientes de forma prática:
  • Tomando s=0 (anula termos com fator s): 6=D( -2)^{2}=4D \quad\Rightarrow\quad D=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}.
  • Tomando s=2 (anula termos com fator s-2): 6=F\cdot 2^{4}=16F \quad\Rightarrow\quad F=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}.
Agora fazemos expansão e igualamos coeficientes dos termos em potências de s. Expandindo os termos (mostrando apenas o necessário) e coletando os coeficientes de s^{5},s^{4},s^{3},s^{2},s, s^{0} obtemos o sistema (os coeficientes de s^{1} e a constante já confirmam alguns valores):
  • Do termo em s^{1} vem 4C-4D=0 C=D. Então C=\dfrac{3}{2}.
  • Do termo em s^{5} vem A+E=0 E=-A.
  • Do termo em s^{3} vem 4A-4B+C=0 4A-4B+\dfrac{3}{2}=0 A-B=-\dfrac{3}{8}.
  • Do termo em s^{4} vem -4A+B-2E+F=0. Substituindo E=-A e F=\dfrac{3}{8} -4A+B+2A+\dfrac{3}{8}=0 -2A+B+\dfrac{3}{8}=0 B=2A-\dfrac{3}{8}.
Agora resolver A-B=-\dfrac{3}{8} com B=2A-\dfrac{3}{8}:
A-(2A-\tfrac{3}{8})=-\tfrac{3}{8}\quad\Rightarrow\quad -A+\tfrac{3}{8}=-\tfrac{3}{8}\quad\Rightarrow\quad A=\tfrac{3}{4}.
Então
B=2A-\tfrac{3}{8}=2\cdot\tfrac{3}{4}-\tfrac{3}{8}=\tfrac{9}{8}, \qquad C=\tfrac{3}{2}, \qquad D=\tfrac{3}{2}, \qquad E=-A=-\tfrac{3}{4}, \qquad F=\tfrac{3}{8}.

Passo 7

Agora escrevemos a decomposição:
\frac{6}{s^{4}(s-2)^{2}}=\frac{3/4}{s}+\frac{9/8}{s^{2}}+\frac{3/2}{s^{3}}+\frac{3/2}{s^{4}}-\frac{3/4}{s-2}+\frac{3/8}{(s-2)^{2}}.
Invertemos termo a termo usando transformadas conhecidas:
  • \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s}\}=1.
  • \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s^{2}}\}=r.
  • \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s^{3}}\}=\tfrac{r^{2}}{2}.
  • \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s^{4}}\}=\tfrac{r^{3}}{6}.
  • \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s-2}\}=e^{2r}.
  • \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{(s-2)^{2}}\}=r e^{2r}.
Assim a parte y_{1}(r)=\mathcal{L}^{-1}\{Y_{1}(s)\} vale:
y_{1}(r)=\frac{3}{4} +\frac{9}{8}r +\frac{3}{2}\cdot\frac{r^{2}}{2} +\frac{3}{2}\cdot\frac{r^{3}}{6} -\frac{3}{4}e^{2r} +\frac{3}{8}r e^{2r}.
Simplificando os coeficientes:
y_{1}(r)=\frac{3}{4}+\frac{9}{8}r+\frac{3}{4}r^{2}+\frac{1}{4}r^{3}-\frac{3}{4}e^{2r}+\frac{3}{8}r e^{2r}.

Passo 8

Somando as duas parcelas y(r)=y_{1}(r)+y_{2}(r), com y_{2}(r)=e^{2r}-2r e^{2r}, obtemos (ao combinar termos exponenciais e polinomiais):
y(r)=\frac{3}{4}+\frac{9}{8}r+\frac{3}{4}r^{2}+\frac{1}{4}r^{3} +\left(1-\frac{3}{4}\right)e^{2r} +\left(\frac{3}{8}-2\right)r e^{2r}.
Simplificando os coeficientes das partes exponenciais:
1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4},\qquad \frac{3}{8}-2=-\frac{13}{8}.
Portanto a solução final é
y(r)=\frac{3}{4}+\frac{9}{8}r+\frac{3}{4}r^{2}+\frac{1}{4}r^{3}+\frac{1}{4}e^{2r}-\frac{13}{8}r e^{2r}.
Como checagem rápida: em r=0 y(0)=\tfrac{3}{4}+\tfrac{1}{4}=1 e y'(0)=0, logo as condições iniciais são satisfeitas.

Resposta

y(r)=\frac{3}{4}+\frac{9}{8}r+\frac{3}{4}r^{2}+\frac{1}{4}r^{3}+\frac{1}{4}e^{2r}-\frac{13}{8}r e^{2r}.

Exercícios relacionados