Nos Problemas 31 e 32, utilize a transformada de Laplace e o procedimento destacado no Exemplo 9 para resolver o problema de valor de contorno dado.
y^{\prime \prime}+8 y^{\prime}+20 y=0, y(0)=0, y^{\prime}(\pi)=0

Passo 1

O enunciado dá o problema de contorno
y''+8y'+20y=0,
com as condições
y(0)=0,\qquad y'(\pi)=0.
Aqui há uma incógnita óbvia: o valor de y'(0) não é dado. Vou chamar
y'(0)=A
e usar a transformada de Laplace para obter y(t) em função de A. Depois imporei y'(\pi)=0 para determinar A.
Dados relevantes: a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem e as duas condições de contorno (uma em t=0 e outra em t=\pi).

Passo 2

Breve lembrando das regras da transformada de Laplace que vou usar (explicação didática):
  • Denoto por Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\} a transformada de y.
  • Para derivadas vale: \mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^2Y(s)-s y(0)-y'(0).
Aqui s é a variável da transformada (um número complexo em geral), Y(s) é a transformada de y(t), e y(0) e y'(0) aparecem porque a transformada da derivada incorpora condições iniciais — é isso que nos permite tratar as condições em t=0 de forma direta. Vou aplicar essas fórmulas à EDO.

Passo 3

Aplico a transformada de Laplace à equação inteira. Usando y(0)=0 e y'(0)=A, obtemos
\mathcal{L}\{y''\}+8\mathcal{L}\{y'\}+20\mathcal{L}\{y\}=0
\Rightarrow \bigl(s^2Y(s)-s y(0)-y'(0)\bigr)+8\bigl(sY(s)-y(0)\bigr)+20Y(s)=0.
Substituindo y(0)=0 e y'(0)=A
s^2Y(s)-A +8sY(s)+20Y(s)=0.
Agrupando Y(s),
Y(s)\bigl(s^2+8s+20\bigr)-A=0,
logo
Y(s)=\frac{A}{s^2+8s+20}.

Passo 4

Vamos inverter Y(s). Primeiro escrevo o denominador completando o quadrado:
s^2+8s+20=(s+4)^2+4.
Portanto
Y(s)=\frac{A}{(s+4)^2+2^2}.
Lembrando a transformada conhecida
\mathcal{L}\{e^{-4t}\sin(2t)\}=\frac{2}{(s+4)^2+2^2},
vemos que
\frac{1}{(s+4)^2+2^2}=\frac{1}{2}\,\mathcal{L}\{e^{-4t}\sin(2t)\}.
Assim a inversa é
y(t)=\mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\}=A\cdot\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s+4)^2+2^2}\right\} =\frac{A}{2}e^{-4t}\sin(2t).
Aqui explicando concretamente: a forma (s+4)^2+2^2 corresponde ao fator exponencial e^{-4t} multiplicando uma função seno com frequência 2; o coeficiente \tfrac{1}{2} aparece porque a transformada de e^{-4t}\sin(2t) tem numerador 2.

Passo 5

Agora uso a condição em t=\pi. Primeiro calculo y'(t). A partir de
y(t)=\frac{A}{2}e^{-4t}\sin(2t),
derivo passo a passo (produto e cadeia):
y'(t)=\frac{A}{2}\bigl(-4e^{-4t}\sin(2t)+e^{-4t}\cdot 2\cos(2t)\bigr).
Fatorando e^{-4t} e simplificando:
y'(t)=A e^{-4t}\bigl(-2\sin(2t)+\cos(2t)\bigr).
Agora avalio em t=\pi. Usando \sin(2\pi)=0 e \cos(2\pi)=1 (valores trigonométricos padrão),
y'(\pi)=A e^{-4\pi}\bigl(-2\cdot 0 + 1\bigr)=A e^{-4\pi}.
A condição do enunciado impõe y'(\pi)=0, então
A e^{-4\pi}=0.

Passo 6

Como e^{-4\pi}>0, a única solução é
A=0.
Voltando à expressão de y(t), com A=0 temos
y(t)=\frac{0}{2}e^{-4t}\sin(2t)=0
para todo t. Ou seja, a solução do problema de contorno é a solução trivial y\equiv 0. (Isso faz sentido: a EDO homogênea com essas condições leva à solução nula.)

Resposta

y(t)=0

Exercícios relacionados