Nos Problemas 31 e 32, utilize a transformada de Laplace e o procedimento destacado no Exemplo 9 para resolver o problema de valor de contorno dado.
Passo 1
O enunciado dá o problema de contorno
com as condições
Aqui há uma incógnita óbvia: o valor de
não é dado. Vou chamar
e usar a transformada de Laplace para obter
em função de
. Depois imporei
para determinar
.
Dados relevantes: a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem e as duas condições de contorno (uma em
e outra em
).
Passo 2
Breve lembrando das regras da transformada de Laplace que vou usar (explicação didática):
- Denoto por
a transformada de . - Para derivadas vale:
Aqui
é a variável da transformada (um número complexo em geral),
é a transformada de
, e
e
aparecem porque a transformada da derivada incorpora condições iniciais — é isso que nos permite tratar as condições em
de forma direta. Vou aplicar essas fórmulas à EDO.
Passo 3
Aplico a transformada de Laplace à equação inteira. Usando
e
, obtemos
Substituindo
e
dá
Agrupando
,
logo
Passo 4
Vamos inverter
. Primeiro escrevo o denominador completando o quadrado:
Portanto
Lembrando a transformada conhecida
vemos que
Assim a inversa é
Aqui explicando concretamente: a forma
corresponde ao fator exponencial
multiplicando uma função seno com frequência
; o coeficiente
aparece porque a transformada de
tem numerador
.
Passo 5
Agora uso a condição em
. Primeiro calculo
. A partir de
derivo passo a passo (produto e cadeia):
Fatorando
e simplificando:
Agora avalio em
. Usando
e
(valores trigonométricos padrão),
A condição do enunciado impõe
, então
Passo 6
Como
, a única solução é
Voltando à expressão de
, com
temos
para todo
. Ou seja, a solução do problema de contorno é a solução trivial
. (Isso faz sentido: a EDO homogênea com essas condições leva à solução nula.)