Sejam a, b e c constantes complexas. Use a definição de limites para provar que:
lim z z0 Re(z)=Re(z0).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a parte real é contínua, ou seja, que
limzto z0Re(z)=Re(z0)
Vamos usar a definição de limite para função de variável complexa e a desigualdade
|Re(w)|<=|w|,
que vale para todo número complexo w.

Passo 2

Seja varepsilon>0. Precisamos achar de0 tal que, sempre que
|z-z0|
então
|Re(z)-Re(z0)|

Passo 3

Como para qualquer winC temos
|Re(w)|<=|w|,
basta aplicar isso a w=z-z0. Então
|Re(z)-Re(z0)|=|Re(z-z0)|<=|z-z0|

Passo 4

Logo, basta escolher
de
De fato, se |z-z0|, então
|Re(z)-Re(z0)|<=|z-z0|
Isso mostra, pela definição de limite, que
limzto z0Re(z)=Re(z0)

Resposta

Pela definição de limite, escolhendo de obtemos |Re(z)-Re(z0)| sempre que |z-z0|, logo limzto z0Re(z)=Re(z0).

Exercícios relacionados