Nos Problemas 1-22, resolva, se possível, o sistema de equações diferenciais por eliminação sistemática ou por determinantes.
(2 D^2-D-1) x+(2 D+1) y=1
(D-1) x+ D y=-1

Passo 1

Temos um sistema de equações diferenciais lineares acopladas em x(t) e y(t):
(2D^2 - D - 1)x + (2D + 1)y = 1,
(D - 1)x + D y = -1,
onde D=tfracddt. O conteúdo é resolução de sistemas lineares por determinantes de operadores (Cramer) e resolução de EDOs lineares de ordem 3.

Passo 2

Escrevemos em forma matricial M(D)xy=1-1, com
M(D)=2D^2 - D - 1 & 2D + 1D - 1 & D
O determinante operador é
De

Passo 3

Pelo Cramer, o numerador para x é
Nx = 1 & 2D+1-1 & D=1cdot D -(-1)(2D+1)=3D+1,
e portanto
De\nisto é
2x''' -3x'' + x =1

Passo 4

Analogamente, o numerador para y é
Ny = 2D^2 - D - 1 & 1D - 1 & -1=(2D^2 - D -1)(-1) -1,(D-1)=-2D^2+2,
então
De
i.e.
2y''' -3y'' + y =2

Passo 5

Para a parte homogênea examinamos o polinômio característico
2r^3 -3r^2 +1=0
cuja fatoração é (r-1)^2(2r+1)=0. Logo as raízes são r=1 (multiplicidade 2) e r=-tfrac12.

Passo 6

Buscamos agora três soluções fundamen­tais (x,y) do sistema homogêneo. Substituindo x=e^rt,y=ke^rt no sistema homogêneo deduzimos os autovetores e construímos a solução generalizada:
  • Para r=1 (autovetor simples): (x1,y1)=(e^t,0).
  • Para a raiz repetida r=1 geramos uma solução generalizada: (x2,y2)=(t e^t,-e^t).
  • Para r=-tfrac12 (autovetor): (x3,y3)=(e^-t/2,-3e^-t/2).

Passo 7

Procuramos solução particular constante: suponha xp=A,;yp=B. Substituindo nas equações originais:
  • Na segunda: (D-1)A +D B = -1 -A = -1 A=1.
  • Na primeira: (2D^2 -D -1)1 + (2D+1)B =1 -1 + B =1 B=2.

Passo 8

Finalmente, a solução geral do sistema é a soma das partes homogênea e particular:

Passo 9

x(t)=1 + C1e^t + C2 te^t + C3e^-t/2,

Passo 10

y(t)=2 + C1,0;e^t + C2(-e^t) + C3(-3e^-t/2) =2 - C2e^t -3C3e^-t/2,

Passo 11

onde C1,C2,C3 são constantes arbitrárias.

Resposta

x(t)=1 + C_1e^t + C_2te^t + C_3e^{-t/2}, y(t)=2 - C_2e^t -3C_3e^{-t/2}

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