Nos Problemas 1-22, resolva, se possível, o sistema de equações diferenciais por eliminação sistemática ou por determinantes.
Passo 1
Temos um sistema de equações diferenciais lineares acopladas em x(t) e y(t):
onde . O conteúdo é resolução de sistemas lineares por determinantes de operadores (Cramer) e resolução de EDOs lineares de ordem 3.
Passo 2
Escrevemos em forma matricial , com
O determinante operador é
Passo 3
Pelo Cramer, o numerador para é
e portanto
De\nisto é
2x''' -3x'' + x =1
Passo 4
Analogamente, o numerador para y é
Ny = 2D^2 - D - 1 & 1D - 1 & -1=(2D^2 - D -1)(-1) -1,(D-1)=-2D^2+2,
então
De
i.e.
2y''' -3y'' + y =2
Passo 5
Para a parte homogênea examinamos o polinômio característico
2r^3 -3r^2 +1=0
cuja fatoração é (r-1)^2(2r+1)=0. Logo as raízes são r=1 (multiplicidade 2) e r=-tfrac12.
Passo 6
Buscamos agora três soluções fundamentais (x,y) do sistema homogêneo. Substituindo x=e^rt,y=ke^rt no sistema homogêneo deduzimos os autovetores e construímos a solução generalizada:
Para r=1 (autovetor simples): (x1,y1)=(e^t,0).
Para a raiz repetida r=1 geramos uma solução generalizada: (x2,y2)=(t e^t,-e^t).
Para r=-tfrac12 (autovetor): (x3,y3)=(e^-t/2,-3e^-t/2).
Passo 7
Procuramos solução particular constante: suponha xp=A,;yp=B. Substituindo nas equações originais:
Na segunda: (D-1)A +D B = -1 dá -A = -1 ⇒ A=1.
Na primeira: (2D^2 -D -1)1 + (2D+1)B =1 dá -1 + B =1 ⇒ B=2.
Passo 8
Finalmente, a solução geral do sistema é a soma das partes homogênea e particular: