Nos Problemas 1-22, resolva, se possível, o sistema de equações diferenciais por eliminação sistemática ou por determinantes.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema de equações diferenciais lineares em t:
O conteúdo é eliminação sistemática de operadores diferenciais (D = d/dt). Vamos eliminar x para obter uma equação só em y.
Passo 2
Para eliminar x multiplico a primeira equação por (D+1) e a segunda por D, e subtraio:
No lado esquerdo os termos em x se cancelam e fica
No lado direito
Passo 3
A equação para y é
O homogêneo tem equação característica
Para particular tentamos
. Substituindo
Logo
Passo 4
Usando a segunda equação para achar x:
Calculo primeiro
Então o lado direito vira
Resolvemos então
Passo 5
Para cada parte do termo não homogeneamente:
- Para
a solução particular é . - Para o termo constante
vem . - Para
e encontra-se e .
Não incluímos solução homogênea extra () porque ela não faz parte do espaço de soluções do sistema original.
Somando tudo dá
Passo 6
Os três constantes
vêm do conjunto fundamental de soluções do sistema.
Portanto a solução geral é:
Portanto a solução geral é:
Resposta
x(t)=C_{1}+C_{2},\sin t - C_{3},\cos t + \tfrac{17}{15}e^{3t},\quad y(t)=C_{1}+C_{2},\cos t + C_{3},\sin t - \tfrac{4}{15}e^{3t}.