Nos Problemas 1-22, resolva, se possível, o sistema de equações diferenciais por eliminação sistemática ou por determinantes.
D x+D^2 y=e^3 t
(D+1) x+(D-1) y=4 e^3 t

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema de equações diferenciais lineares em t:
D x + D^2 y = e^3t
(D+1)x + (D-1)y = 4 e^3t
O conteúdo é eliminação sistemática de operadores diferenciais (D = d/dt). Vamos eliminar x para obter uma equação só em y.

Passo 2

Para eliminar x multiplico a primeira equação por (D+1) e a segunda por D, e subtraio:
(D+1)(D x + D^2 y) - D((D+1)x + (D-1)y) = (D+1)e^3t - 4D e^3t
No lado esquerdo os termos em x se cancelam e fica
(D+1)D^2 y - D(D-1)y = D(D^2+1)y
No lado direito

Passo 3

A equação para y é
y'''+y' = -8e^3t
O homogêneo tem equação característica r(r^2+1)=0, raízes r=0,pm i, então
yh = C1 + C2,cos t + C3,sin t
Para particular tentamos yp = A e^3t. Substituindo
(27A + 3A)e^3t = 30A e^3t = -8e^3timplies A=-tfrac415
Logo
y(t)=C1 + C2,cos t + C3,sin t - tfrac415e^3t

Passo 4

Usando a segunda equação para achar x:
(D+1)x = 4e^3t - (D-1)y
Calculo primeiro (D-1)y = y' - y usando o y encontrado, obtendo
(D-1)y = -tfrac815e^3t - C1 - C2(cos t + sin t) + C3(cos t - sin t)
Então o lado direito vira
4e^3t - (D-1)y = tfrac6815e^3t + C1 + C2(cos t + sin t) - C3(cos t - sin t)
Resolvemos então
x' + x = tfrac6815e^3t + C1 + C2(cos t + sin t) - C3(cos t - sin t)

Passo 5

Para cada parte do termo não homogeneamente:
  • Para e^3t a solução particular é xp1=tfrac1715e^3t.
  • Para o termo constante C1 vem xp2=C1.
  • Para C2(cos t+sin t) e -C3(cos t-sin t) encontra-se xp3=C2sin t e xp4=-C3cos t.
    Não incluímos solução homogênea extra ( e^-t) porque ela não faz parte do espaço de soluções do sistema original.
    Somando tudo dá
x(t)=C1 + C2,sin t - C3,cos t + tfrac1715e^3t

Passo 6

Os três constantes C1,C2,C3 vêm do conjunto fundamental de soluções do sistema.
Portanto a solução geral é:
x(t)=C1 + C2,sin t - C3,cos t + tfrac1715e^3t,
y(t)=C1 + C2,cos t + C3,sin t - tfrac415e^3t

Resposta

x(t)=C_{1}+C_{2},\sin t - C_{3},\cos t + \tfrac{17}{15}e^{3t},\quad y(t)=C_{1}+C_{2},\cos t + C_{3},\sin t - \tfrac{4}{15}e^{3t}.

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