Questão EXTRA - VALOR: 1,0 Ponto.
integral 5 e^te^2 t+e^t-6 d t

Passo 1

Vamos resolver a integral integral 5 e^te^2 t+e^t-6 , dt. Esse exercício está ligado ao cálculo de integrais que envolvem funções exponenciais e frações algébricas. Para resolver, vamos precisar usar substituição e frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral fazendo uma substituição. Vamos chamar u = e^t. Então, a derivada de u em relação a t é du/dt = e^t, ou seja, du = e^t dt.

Passo 3

Observamos que no numerador da integral original temos 5 e^t dt. Usando a substituição, isso fica 5 du. Então, a integral agora fica:
5 integral 1u^2 + u - 6 , du

Passo 4

Agora, vamos fatorar o denominador u^2 + u - 6. Procuramos dois números que multiplicados dão -6 e somados dão 1. Esses números são 3 e -2. Assim, podemos escrever:
u^2 + u - 6 = (u + 3)(u - 2)

Passo 5

Com o denominador fatorado, usamos frações parciais para separar a fração. Queremos encontrar constantes A e B tais que:
1(u + 3)(u - 2) = Au + 3 + Bu - 2
Multiplicando ambos os lados por (u + 3)(u - 2), temos:
1 = A(u - 2) + B(u + 3)

Passo 6

Para encontrar A e B, escolhemos valores de u que simplificam a equação:
  • Se u = 2:
1 = A(2 - 2) + B(2 + 3) Rightarrow 1 = 0 + 5B Rightarrow B = 15
  • Se u = -3:
1 = A(-3 - 2) + B(-3 + 3) Rightarrow 1 = -5A + 0 Rightarrow A = -15

Passo 7

Substituindo A e B na expressão das frações parciais:
1(u + 3)(u - 2) = -15u + 3 + 15u - 2
Então, a integral fica:
5 ( -15 integral 1u + 3 , du + 15 integral 1u - 2 , du )

Passo 8

Simplificando os coeficientes:
- integral 1u + 3 , du + integral 1u - 2 , du
Integrando cada termo:
- ln|u + 3| + ln|u - 2| + C

Passo 9

Finalmente, substituímos u = e^t de volta:
- ln|e^t + 3| + ln|e^t - 2| + C
Podemos escrever de forma combinada:
ln|e^t - 2e^t + 3| + C

Resposta

A integral é igual a ln|e^t - 2e^t + 3| + C.

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