Encontre a série de potências das funções em torno dos pontos dados:
f(x)=e^x, x0=ln 2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a série de potências da função $ f(x) = e^{x} $ em torno do ponto $ x_{0} = \ln 2 $.
Aqui, série de potências significa expandir a função $ e^{x} $ em uma soma infinita de termos que envolvem potências de $ (x - \ln 2) $. Para isso, vamos usar a fórmula geral da série de Taylor, que nos ajuda a escrever funções como somas de potências em torno de um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da série de Taylor para uma função $ f(x) $ em torno de um ponto $ x_{0} $:
f(x)
Aqui:
  • $ f^{(n)}(x_{0}) $ é a n-ésima derivada de $ f $ avaliada em $ x_{0} $.
  • $ n! $ é o fatorial de $ n $.
  • $ (x - x_{0})^{n} $ são as potências de $ (x - x_{0}) $.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa fórmula à nossa função $ f(x) = e^{x} $ e ao ponto $ x_{0} = \ln 2 $.
Primeiro, precisamos encontrar $ f^{(n)}(x_{0}) $. Sabemos que a derivada de $ e^{x} $ é sempre $ e^{x} $, ou seja, todas as derivadas de $ f(x) $ são iguais a $ e^{x} $. Portanto:
f(x) = e^x
Isso porque $ e^{\ln 2} = 2 $.

Passo 4

Substituindo os valores encontrados na fórmula da série de Taylor, temos:
f(x) = e^x = sumn=0^infty 2n! (x - ln 2)^n
Aqui, substituímos $ f^{(n)}(x_{0}) $ por 2 em todos os termos da soma.

Resposta

A série de potências de $ f(x) = e^{x} $ em torno de $ x_{0} = \ln 2 $ é:
f(x) = e^x

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