Encontre a série de potências das funções em torno dos pontos dados:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a série de potências da função $ f(x) = e^{x} $ em torno do ponto $ x_{0} = \ln 2 $.
Aqui, série de potências significa expandir a função $ e^{x} $ em uma soma infinita de termos que envolvem potências de $ (x - \ln 2) $. Para isso, vamos usar a fórmula geral da série de Taylor, que nos ajuda a escrever funções como somas de potências em torno de um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da série de Taylor para uma função $ f(x) $ em torno de um ponto $ x_{0} $:
Aqui:
- $ f^{(n)}(x_{0}) $ é a n-ésima derivada de $ f $ avaliada em $ x_{0} $.
- $ n! $ é o fatorial de $ n $.
- $ (x - x_{0})^{n} $ são as potências de $ (x - x_{0}) $.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa fórmula à nossa função $ f(x) = e^{x} $ e ao ponto $ x_{0} = \ln 2 $.
Primeiro, precisamos encontrar $ f^{(n)}(x_{0}) $. Sabemos que a derivada de $ e^{x} $ é sempre $ e^{x} $, ou seja, todas as derivadas de $ f(x) $ são iguais a $ e^{x} $. Portanto:
Isso porque $ e^{\ln 2} = 2 $.
Passo 4
Substituindo os valores encontrados na fórmula da série de Taylor, temos:
Aqui, substituímos $ f^{(n)}(x_{0}) $ por 2 em todos os termos da soma.
Resposta
A série de potências de $ f(x) = e^{x} $ em torno de $ x_{0} = \ln 2 $ é: