Nos Problemas 1-22, resolva, se possível, o sistema de equações diferenciais por eliminação sistemática ou por determinantes.
d^2 xd t^2+d yd t=-5 x
d xd t+d yd t=-x+4 y

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema de equações diferenciais lineares envolvendo uma equação de segunda ordem em x e uma de primeira ordem relacionando dx/dt e dy/dt. Vamos precisar reescrever como um sistema de primeira ordem, montar a matriz de coeficientes e usar o polinômio característico para encontrar a solução geral.

Passo 2

Definimos as variáveis de estado u1=x, u2=dxdt e u3=y. Então
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u1'=u2, u2'=d^2xdt^2, u3'=dydt

Passo 3

Usando as equações dadas:
  • Da segunda equação dxdt+dydt=-x+4y extraímos dydt=-x+4y-dxdt.
  • Da primeira d^2xdt^2+dydt=-5x substituímos dydt e obtemos
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d^2xdt^2= -5x-l(-x+4y-dxdtr)= -4x+dxdt-4y

Passo 4

Logo o sistema em forma matricial é u'=Au com
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A=0 & 1 & 0 -4 & 1 & -4 -1 & -1 & 4

Passo 5

Calculamos o polinômio característico det(A-lambda I)=0:
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det-lambda & 1 & 0 -4 & 1-lambda & -4 -1 & -1 & 4-lambda=-lambda^3+5lambda^2-4lambda+20=0

Passo 6

Multiplicando por -1 e fatorando:
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lambda^3-5lambda^2+4lambda-20=(lambda-5)(lambda^2+4)=0,

Passo 7

portanto as raízes são lambda1=5 e lambda2,3=pm 2i.

Passo 8

A solução geral para x(t) é a combinação linear das soluções associadas às raízes:
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x(t)=C1e^5t+C2cos(2t)+C3sin(2t)

Passo 9

Para achar y(t), usamos a relação obtida na eliminação:
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y=x'-x''-4x4

Passo 10

Substituindo x',x'' derivados de x(t) e simplificando, chega-se a
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y(t)=-6C1e^5t+C32cos(2t)-C22sin(2t)

Resposta

As soluções gerais são
x(t)=C1e^5t+C2cos(2t)+C3sin(2t) e y(t)=-6C1e^5t+tfracC32cos(2t)-tfracC22sin(2t),
onde C1,C2,C3 são constantes arbitrárias.

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