Para as séries dadas, diga se há convergência ou divergência em cada caso, justificando a resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para analisar se a série infinita converge ou diverge. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma série geométrica e quais são os critérios para ela convergir ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que tipo de série estamos lidando. A série é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral , onde:
é o primeiro termo da série.
é a razão comum entre os termos consecutivos.
No nosso caso, podemos reescrever a série começando do para facilitar a identificação:
Aqui, o primeiro termo e a razão .
Passo 3
Agora, vamos usar o critério de convergência para séries geométricas. Esse critério diz que uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, . Se , a série diverge.
No nosso caso, a razão . Vamos calcular o valor absoluto:
Como , atende ao critério de convergência.
Resposta
A série converge porque é uma série geométrica com razão e .