Para as séries dadas, diga se há convergência ou divergência em cada caso, justificando a resposta.
sumn=1^infty 1(-3)^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para analisar se a série infinita converge ou diverge. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma série geométrica e quais são os critérios para ela convergir ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de série estamos lidando. A série sumn=0^infty 1(-3)^n = 1 + 1-3 + 1(-3)^2 + 1(-3)^3 + dots é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral , onde:
  • é o primeiro termo da série.
  • é a razão comum entre os termos consecutivos.
No nosso caso, podemos reescrever a série começando do para facilitar a identificação:
Aqui, o primeiro termo e a razão .

Passo 3

Agora, vamos usar o critério de convergência para séries geométricas. Esse critério diz que uma série geométrica |r| = |1-3| = 13 converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, . Se , a série diverge.
No nosso caso, a razão . Vamos calcular o valor absoluto:
Como , atende ao critério de convergência.

Resposta

A série converge porque é uma série geométrica com razão e .

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