Nos Problemas 1-22, resolva, se possível, o sistema de equações diferenciais por eliminação sistemática ou por determinantes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um sistema de equações diferenciais, especificamente:
O conteúdo que vamos usar para resolver isso envolve sistemas de equações diferenciais lineares e métodos como eliminação sistemática ou determinantes. Basicamente, vamos manipular essas equações para encontrar uma relação que nos permita resolver para uma das funções, seja $ x(t) $ ou $ y(t) $.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar o sistema de forma mais clara. Podemos escrever as equações assim:
Aqui, $ D $ representa a derivada em relação ao tempo $ t $, ou seja, $ D = \frac{d}{dt} $.
Passo 3
Vamos resolver esse sistema usando eliminação sistemática. Primeiro, queremos eliminar uma das variáveis para encontrar uma equação em termos apenas de $ x(t) $ ou $ y(t) $.
Vamos resolver a equação (1) para $ y $:
Passo 4
Agora, vamos substituir $ y $ da equação (3) na equação (2):
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
Passo 5
Vamos expandir o produto:
Substituindo de volta:
Então, a equação resultante para $ x(t) $ é:
Passo 6
Agora, vamos resolver a equação característica $ D^{4} + 7D^{2} + 6 = 0 $. Podemos fazer uma substituição para simplificar. Vamos deixar $ m = D^{2} $, então a equação fica:
Resolvendo essa equação quadrática:
Voltando para $ D $:
Passo 7
Com as raízes da equação característica, podemos escrever a solução geral para $ x(t) $:
Onde $ A, B, C, D $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais do problema.
Passo 8
Agora, usando a relação que encontramos anteriormente na equação (3):
Aplicando $ D^{2} $ na expressão para $ x(t) $:
Simplificando:
Resposta
A solução geral do sistema de equações diferenciais é:
Onde $ A, B, C, D $ são constantes determinadas pelas condições iniciais do problema.