Nos Problemas 1-22, resolva, se possível, o sistema de equações diferenciais por eliminação sistemática ou por determinantes.
(D^2+5) x- 2 y=0
-2 x+(D^2+2) y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um sistema de equações diferenciais, especificamente:
(D^2 + 5)x - 2y = 0 -2x + (D^2 + 2)y = 0
O conteúdo que vamos usar para resolver isso envolve sistemas de equações diferenciais lineares e métodos como eliminação sistemática ou determinantes. Basicamente, vamos manipular essas equações para encontrar uma relação que nos permita resolver para uma das funções, seja $ x(t) $ ou $ y(t) $.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar o sistema de forma mais clara. Podemos escrever as equações assim:
(D^2 + 5)x - 2y = 0 (1) -2x + (D^2 + 2)y = 0 (2)
Aqui, $ D $ representa a derivada em relação ao tempo $ t $, ou seja, $ D = \frac{d}{dt} $.

Passo 3

Vamos resolver esse sistema usando eliminação sistemática. Primeiro, queremos eliminar uma das variáveis para encontrar uma equação em termos apenas de $ x(t) $ ou $ y(t) $.
Vamos resolver a equação (1) para $ y $:
x(t)

Passo 4

Agora, vamos substituir $ y $ da equação (3) na equação (2):
y
Simplificando:
-2x + (D^2 + 2)((D^2 + 5)2x) = 0
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
-2x + (D^2 + 2)(D^2 + 5)2x = 0

Passo 5

Vamos expandir o produto:
(D^2 + 2)(D^2 + 5) = D^4 + 7D^2 + 10
Substituindo de volta:
-4x + (D^4 + 7D^2 + 10)x = 0 Rightarrow (D^4 + 7D^2 + 6)x = 0
Então, a equação resultante para $ x(t) $ é:
x(t)

Passo 6

Agora, vamos resolver a equação característica $ D^{4} + 7D^{2} + 6 = 0 $. Podemos fazer uma substituição para simplificar. Vamos deixar $ m = D^{2} $, então a equação fica:
D^4 + 7D^2 + 6 = 0
Resolvendo essa equação quadrática:
m = D^2
Voltando para $ D $:
m^2 + 7m + 6 = 0

Passo 7

Com as raízes da equação característica, podemos escrever a solução geral para $ x(t) $:
x(t)
Onde $ A, B, C, D $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais do problema.

Passo 8

Agora, usando a relação que encontramos anteriormente na equação (3):
y = (D^2 + 5)2x
Aplicando $ D^{2} $ na expressão para $ x(t) $:
D^2
Simplificando:
x(t)

Resposta

A solução geral do sistema de equações diferenciais é:
x(t) = A cos(t) + B sin(t) + C cos(raiz6, t) + D sin(raiz6, t) y(t) = 2A cos(t) + 2B sin(t) - dfrac12C cos(raiz6, t) - dfrac12D sin(raiz6, t)
Onde $ A, B, C, D $ são constantes determinadas pelas condições iniciais do problema.

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