Nos problemas 1-22, resolva, por separação de variåveis, as equações diferenciais dadas.
(3) d yd x+y=e^3 x

Passo 1

A equação dada é uma EDO de primeira ordem e linear: dydx + y = e^3x. Vamos usar o método do fator integrante, que é o conteúdo-chave aqui.

Passo 2

Para uma EDO na forma dydx + P(x)y = Q(x), o fator integrante é mu(x)=e^integral P(x),dx. No nosso caso, P(x)=1, então:
mu(x)=e^integral 1,dx=e^x

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(x)=e^x. Isso transforma o lado esquerdo na derivada do produto e^x y:
e^xdydx+e^x y= e^x e^3x=e^4x,
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ddx(e^x y)=e^4x

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
e^x y=integral e^4x,dx=14e^4x+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolamos y dividindo por e^x:
y=14e^4xe^-x+Ce^-x=14e^3x+Ce^-x

Resposta

y=tfrac14e^3x+Ce^-x

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