Resolva as Equações Diferenciais de Primeira Ordem de acordo com os tipos indicados:
(Equação Separável) y^prime=x^2 y-yy+1 ; y(3)=-1.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem e separável
y' = x^2y - yy+1,
com condição inicial y(3) = -1. Vamos resolver via separação de variáveis, integrando cada lado e usando a condição inicial para determinar a constante de integração.

Passo 2

Separe as variáveis escrevendo
dydx = y,l(x^2-1r)y+1
e, em seguida,
y+1y,dy = (x^2-1),dx

Passo 3

Integre ambos os lados. No lado esquerdo temos
integral y+1y,dy = integral l(1 + tfrac1yr),dy = y + lnlvert yrvert,
e no direito
integral (x^2-1),dx = x^33 - x + C
Logo a solução geral implícita é
y + lnlvert yrvert = x^33 - x + C

Passo 4

Imponha y(3)=-1. Substituindo x=3 e y=-1 na relação acima:
-1 + lnlvert -1rvert = -1 + 0 = -1 e 3^33 - 3 + C = 9 - 3 + C = 6 + C
Isso dá -1 = 6 + C, portanto
C = -7

Passo 5

A solução particular fica, de forma implícita,
y + lnlvert yrvert = x^33 - x - 7

Resposta

y + lnlvert yrvert = x^33 - x - 7

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