Considere a transformação linear T: R^3 R^4 dada por
T(x, y, z)=(-5 x-3 y-3 z,-2 x-5 y-z,-y,-4 x+4 y-2 z)
Determine:
A transformação linear T é injetiva? A transformação linear T é sobrejetiva?
(A) Sim, Sim.
(B) Sim, Não.
(C) Não, Não.
(D) Não, Sim.
(E) N.D.A.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear Tcolon R^3toR^4 definida por
T(x,y,z)=(-5x-3y-3z,;-2x-5y-z,;-y,;-4x+4y-2z)
Queremos saber se T é injetiva e se é sobrejetiva. Para isso vamos (1) resolver o sistema homogêneo T(x,y,z)=0 e (2) usar o teorema da dimensão (ou rank-nullity).

Passo 2

Para verificar injetividade, montamos o sistema
-5x-3y-3z = 0, -2x-5y-z = 0, -y = 0, -4x+4y-2z = 0

Passo 3

Da terceira equação segue
y = 0
Substituindo em -4x+4y-2z=0 -4x-2z=0, ou seja
2x+z=0Longrightarrow z=-2x
Em seguida, na primeira equação
-5x-3cdot0-3(-2x)= -5x+6x = x = 0,
logo x=0 e então z=-2cdot0=0. A segunda equação também fica satisfeita por x=y=z=0.

Passo 4

Como a única solução de T(x,y,z)=0 é (x,y,z)=(0,0,0), o núcleo de T é trivial e, portanto, T é injectiva.

Passo 5

Pelo teorema da dimensão,
dim(Im,T) + dim(ker T) = dim(R^3) = 3
Já que ker T é trivial, dim(Im,T)=3. Mas dim(R^4)=4, então a imagem não ocupa todo o codomínio e T não é sobrejetiva.

Resposta

(B) Sim, Não.

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