Considere a transformação linear
dada por
Determine:
A transformação linear
é injetiva? A transformação linear
é sobrejetiva?
(A) Sim, Sim.
(B) Sim, Não.
(C) Não, Não.
(D) Não, Sim.
(E) N.D.A.
A transformação linear
(A) Sim, Sim.
(B) Sim, Não.
(C) Não, Não.
(D) Não, Sim.
(E) N.D.A.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
definida por
Queremos saber se
é injetiva e se é sobrejetiva. Para isso vamos (1) resolver o sistema homogêneo
e (2) usar o teorema da dimensão (ou rank-nullity).
Passo 2
Para verificar injetividade, montamos o sistema
Passo 3
Da terceira equação segue
Substituindo em
-4x+4y-2z=0 dá
-4x-2z=0 , ou seja
Em seguida, na primeira equação
logo
x=0 e então
z=-2cdot0=0 . A segunda equação também fica satisfeita por
x=y=z=0 .
Passo 4
Como a única solução de
T(x,y,z)=0 é
(x,y,z)=(0,0,0) , o núcleo de
T é trivial e, portanto,
T é injectiva.
Passo 5
Pelo teorema da dimensão,
Já que
ker T é trivial,
dim(Im,T)=3 . Mas
dim(R^4)=4 , então a imagem não ocupa todo o codomínio e
T não é sobrejetiva.
Resposta
(B) Sim, Não.