Nos problemas 23-30, ache a solução para o problema de valor inicial.
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Passo 1
O problema pede a solução da EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
com condições iniciais
O conteúdo é método de solução de EDO linear: 1) achar a solução geral da homogênea, 2) encontrar uma solução particular para o termo não homogêneo por superposição e, por fim, 3) ajustar as constantes pelos valores iniciais.
Passo 2
A equação homogênea associada é
A equação característica é
logo há raiz dupla
. Portanto a solução geral da homogênea é
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular para o termo polinomial
. Como o grau é 2, fazemos o ansatz
Calculando derivadas:
Substituindo na equação original (só o lado esquerdo):
Isso deve ser igual a
, daí
Logo
Passo 4
Agora tratamos o termo
. Como
não é solução da homogênea, tentamos
Então
e
Queremos
, daí
e
. Assim
Passo 5
Pela linearidade, a solução geral é
Passo 6
Usamos
e
. Primeiro
Em seguida calculamos
logo
Impondo
dá