Nos problemas 23-30, ache a solução para o problema de valor inicial.
y^prime prime+2 y^prime+y=t^2+1-e^t;
y(0)=0, y^prime(0)=2

Passo 1

O problema pede a solução da EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 2y' + y = t^2 + 1 - e^t,
com condições iniciais
y(0)=0, y'(0)=2
O conteúdo é método de solução de EDO linear: 1) achar a solução geral da homogênea, 2) encontrar uma solução particular para o termo não homogêneo por superposição e, por fim, 3) ajustar as constantes pelos valores iniciais.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' + 2y' + y = 0
A equação característica é
r^2 + 2r + 1 = 0 ;Longrightarrow;(r+1)^2=0,
logo há raiz dupla r=-1. Portanto a solução geral da homogênea é
yh(t) = C1e^-t + C2,t,e^-t

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular para o termo polinomial t^2+1. Como o grau é 2, fazemos o ansatz
yp1(t) = A,t^2 + B,t + C
Calculando derivadas:
y'p1 = 2A,t + B, y''p1 = 2A
Substituindo na equação original (só o lado esquerdo):
y''p1 + 2y'p1 + yp1 = 2A + 2(2A,t + B) + (A,t^2+B,t + C) = A,t^2 + (4A + B),t + (2A + 2B + C)
Isso deve ser igual a t^2 + 1, daí
A = 1, 4A + B = 0;Rightarrow;B=-4, 2A + 2B + C = 1;Rightarrow;2 -8 + C =1;Rightarrow;C=7
Logo
yp1(t) = t^2 -4t + 7

Passo 4

Agora tratamos o termo -e^t. Como e^t não é solução da homogênea, tentamos
yp2(t) = D,e^t
Então
y'p2 = D,e^t, y''p2 = D,e^t,
e
y''p2 + 2y'p2 + yp2 = D,e^t + 2D,e^t + D,e^t = 4D,e^t
Queremos 4D,e^t = -e^t, daí 4D=-1 e D=-tfrac14. Assim
yp2(t) = -tfrac14,e^t

Passo 5

Pela linearidade, a solução geral é
y(t) = yh(t) + yp1(t) + yp2(t) = C1e^-t + C2,t,e^-t + l(t^2-4t+7r) - tfrac14,e^t

Passo 6

Usamos y(0)=0 e y'(0)=2. Primeiro
y(0)=C1 + 0 + (0 - 0 +7) - tfrac14 = C1 + tfrac274 = 0 ;Longrightarrow;C1 = -tfrac274
Em seguida calculamos
y'(t) = -C1e^-t + C2(1 - t)e^-t + (2t -4) - tfrac14,e^t,
logo
y'(0) = -C1 + C2 -4 - tfrac14 = tfrac274 + C2 - tfrac174 = C2 + tfrac104 = C2 + tfrac52
Impondo y'(0)=2
C2 + tfrac52 = 2 ;Longrightarrow; C2 = -tfrac12

Resposta

boxed y(t) = -tfrac274,e^-t ;-;tfrac12,t,e^-t ;+;t^2-4t+7 ;-;tfrac14,e^t

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