(4) Utilizando a regra da cadeia, calcule as seguintes derivadas:
\frac{d}{d x}\left[(2 x+1)^{x}\right]

Passo 1

O enunciado pede a derivada de (2x+1)^x. Aqui temos base e expoente variáveis, então vamos usar a identidade
a^b = e^bln a
e em seguida a regra da cadeia.

Passo 2

Definimos
y = (2x+1)^x
e reescrevemos como
y = expl(xln(2x+1)r)

Passo 3

Chamando
u(x) = xln(2x+1),
calculamos
u'(x) = ddxl[xln(2x+1)r] = ln(2x+1) + xcdot22x+1

Passo 4

Pela regra da cadeia,
dydx = expl(u(x)r),u'(x)
Voltando a y e a u'(x), temos
ddxl[(2x+1)^xr] = (2x+1)^xl(ln(2x+1) + 2x2x+1r)

Resposta

ddxl[(2x+1)^xr] = (2x+1)^xl[ln(2x+1) + 2x2x+1r]

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