Questão 01
Encontre a solução geral da equação diferencial linear:
d yd x+1x y=x^2

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem e coeficientes variáveis
dydx + 1x,y = x^2
Esse tipo de equação é do tipo linear
dydx + P(x),y = Q(x),
com P(x)=tfrac1x e Q(x)=x^2. A técnica é usar o fator integrante.

Passo 2

Calcular o fator integrante mu(x), que satisfaz
mu(x) = e^integral P(x),dx = e^integral 1x,dx = e^ln|x| = |x|
Para trabalhar com xneq0 e simplificar, escolhemos
mu(x) = x

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(x)=x:
xdydx + xcdot1x,y = xcdot x^2 Longrightarrow xdydx + y = x^3
Repare que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto x,y, isto é,
ddxl(x,yr) = xdydx + y

Passo 4

Substituindo, ficamos com
ddxl(x,yr) = x^3
Agora basta integrar ambos os lados em relação a x:
x,y = integral x^3,dx = x^44 + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Isolando y, obtemos a solução geral
y(x) = x^44,x + Cx = x^34 + Cx

Resposta

boxedy(x) = x^34 + Cx, CinR, xneq0

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