Nos problemas 23-30, ache a solução para o problema de valor inicial.
y^prime prime+y^prime-12 y=e^t+e^2 t-1;
y(0)=1, y^prime(0)=3

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + y' - 12,y = e^t + e^2t - 1,
com condições y(0)=1 e y'(0)=3.
O conteúdo é solução de equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo. Vamos achar primeiro a solução da homogênea, depois uma particular e, por fim, ajustar as constantes pelos valores iniciais.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' + y' - 12,y = 0
Formamos o polinômio característico
r^2 + r - 12 = 0 Longrightarrow (r-3)(r+4)=0,
cujas raízes são r1=3 e r2=-4. Logo, a solução geral da homogênea é
yh(t) = C1,e^3t + C2,e^-4t

Passo 3

Para a solução particular, como o lado direito é combinação de e^t, e^2t e constante, propomos
yp(t) = A,e^t + B,e^2t + C
Calculamos
yp' = A,e^t + 2B,e^2t, yp'' = A,e^t + 4B,e^2t,
e então
yp'' + yp' - 12,yp = (A+A-12A),e^t + (4B+2B-12B),e^2t -12C = -10A,e^t -6B,e^2t -12C

Passo 4

Igualando a e^t + e^2t -1 obtemos o sistema
-10A = 1, -6B = 1, -12C = -1,
cuja solução é
A = -tfrac110, B = -tfrac16, C = tfrac112

Passo 5

Assim, a solução geral da equação completa é
y(t) = C1,e^3t + C2,e^-4t - tfrac110,e^t - tfrac16,e^2t + tfrac112

Passo 6

Para ajustar C1 e C2, calculamos
y(0) = C1 + C2 - tfrac110 - tfrac16 + tfrac112 = C1 + C2 - tfrac1160
Como y(0)=1, temos
C1 + C2 = 1 + tfrac1160 = tfrac7160

Passo 7

Em seguida derivamos
y'(t) = 3C1,e^3t -4C2,e^-4t - tfrac110,e^t - tfrac13,e^2t,
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y'(0) = 3C1 -4C2 - tfrac110 - tfrac13 = 3C1 -4C2 - tfrac1330
Como y'(0)=3, segue
3C1 -4C2 = 3 + tfrac1330 = tfrac10330

Passo 8

Resolvendo o sistema
C1 + C2 = tfrac7160, 3C1 -4C2 = tfrac10330,
encontramos
C1 = tfrac76, C2 = tfrac160

Passo 9

Substituindo em y(t), a solução final é
y(t) = tfrac76,e^3t + tfrac160,e^-4t - tfrac110,e^t - tfrac16,e^2t + tfrac112

Resposta

boxedy(t) = 76e^3t + 160e^-4t - 110e^t - tfrac16e^2t + 112

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