Nos problemas 23-30, ache a solução para o problema de valor inicial.
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Passo 1
O enunciado pede a solução do problema de valor inicial para a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
sujeita a
Aqui o conteúdo envolvido é: (1) resolução da parte homogênea via equação característica, (2) método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular e (3) aplicação das condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada
A equação característica é
Logo a solução geral da homogênea é
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
para
Como o segundo membro é soma de
e de
, tentamos
onde
,
e
são constantes a determinar.
Passo 4
Calculamos
Substituindo em
obtemos
Para que isso seja igual a
, igualamos coeficientes:
Assim
Passo 5
A solução geral da equação não homogênea é
Passo 6
Aplicamos as condições iniciais. Primeiro, em
Em seguida, derivando
em
dá
Resolvendo o sistema
somando obtemos .
E então