Nos problemas 23-30, ache a solução para o problema de valor inicial.
y^prime prime(theta)-y(theta)=sen theta-e^2 theta;
y(0)=1, y^prime(0)=-1

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial para a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y''(theta)-y(theta)=sintheta - e^2theta,
sujeita a
y(0)=1, y'(0)=-1
Aqui o conteúdo envolvido é: (1) resolução da parte homogênea via equação característica, (2) método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular e (3) aplicação das condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada
yh''-yh=0
A equação característica é
r^2-1=0Longrightarrow r=pm1
Logo a solução geral da homogênea é
yh(theta)=C1e^theta+C2e^-theta

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular yp para
y''-y=sintheta - e^2theta
Como o segundo membro é soma de sintheta e de e^2theta, tentamos
yp(theta)=Asintheta+Bcostheta + C,e^2theta,
onde A, B e C são constantes a determinar.

Passo 4

Calculamos
yp'=-Acostheta +Bsintheta +2C,e^2theta,
yp''=-Asintheta -Bcostheta +4C,e^2theta
Substituindo em yp''-yp obtemos
yp''-yp =(-Asintheta -Bcostheta +4C,e^2theta) - (Asintheta +Bcostheta +C,e^2theta)
=-2Asintheta -2Bcostheta +3C,e^2theta
Para que isso seja igual a sintheta - e^2theta, igualamos coeficientes:
-2A=1Longrightarrow A=-tfrac12, -2B=0Longrightarrow B=0, 3C=-1Longrightarrow C=-tfrac13
Assim
yp(theta)=-tfrac12sintheta -tfrac13,e^2theta

Passo 5

A solução geral da equação não homogênea é
y(theta)=yh(theta)+yp(theta) =C1e^theta+C2e^-theta-tfrac12sintheta -tfrac13e^2theta

Passo 6

Aplicamos as condições iniciais. Primeiro, em
Em seguida, derivando
em
Resolvendo o sistema
somando obtemos .
E então

Resposta

boxedy(theta)=tfrac34,e^theta+tfrac712,e^-theta-tfrac12sintheta -tfrac13,e^2theta

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