Find the arc length function for the curve measured from the point
in the direction of increasing
and then reparametrize the curve with respect to arc length starting from
.
Find the point 4 units along the curve (in the direction of increasing
) from
.
15.
Find the point 4 units along the curve (in the direction of increasing
15.
Passo 1
O enunciado dá a curva
e o ponto . Precisamos
e o ponto
- encontrar a função de comprimento de arco
medida desde no sentido de crescente; - reparametrizar a curva em função de
; - determinar o ponto que fica a
unidades de arco de nesse sentido.
Passo 2
Primeiro achamos o valor
tal que
.
Resolvendo
Resolvendo
vem
.
Em seguida, a derivada é constante:
logo a velocidade é
O comprimento de arco desde
até
é
Passo 3
Invertendo a relação
obtemos
A reparametrização por arco fica
Simplificando cada componente:
Passo 4
O ponto que está a
unidades de arco de
corresponde a
. Substituindo em
:
Resposta
Função de arco:
Reparametrização por arco:
Ponto a 4 unidades de arco de
: