Find the arc length function for the curve measured from the point P in the direction of increasing t and then reparametrize the curve with respect to arc length starting from P.
Find the point 4 units along the curve (in the direction of increasing t ) from P.
15. r(t)=(5-t) i+(4 t-3) j+3 t k, P(4,1,3)

Passo 1

O enunciado dá a curva
r(t)=(5-t),i+(4t-3),j+3t,k
e o ponto P(4,1,3). Precisamos
  1. encontrar a função de comprimento de arco s(t) medida desde P no sentido de t crescente;
  2. reparametrizar a curva em função de s;
  3. determinar o ponto que fica a 4 unidades de arco de P nesse sentido.

Passo 2

Primeiro achamos o valor t0 tal que r(t0)=P.
Resolvendo
5-t0=4, 4t0-3=1, 3t0=3
vem t0=1.
Em seguida, a derivada é constante:
r'(t)=(-1,4,3),
logo a velocidade é
|r'(t)|=raiz(-1)^2+4^2+3^2=raiz1+16+9=raiz26
O comprimento de arco desde t=1 até t é
s(t)=integral1^t|r'(u)|,du =integral1^traiz26,du =raiz26,(t-1)

Passo 3

Invertendo a relação ,s=raiz26,(t-1), obtemos
t=1+sraiz26
A reparametrização por arco fica
r(s) =rl(1+sraiz26r) =l(5-l(1+tfracsraiz26r),,4l(1+tfracsraiz26r)-3,,3l(1+tfracsraiz26r)r)
Simplificando cada componente:
r(s) =l(4-tfracsraiz26,,1+tfrac4sraiz26,,3+tfrac3sraiz26r)

Passo 4

O ponto que está a 4 unidades de arco de P corresponde a s=4. Substituindo em r(s):
r(4) =l(4-tfrac4raiz26,,1+tfrac16raiz26,,3+tfrac12raiz26r)

Resposta

Função de arco:
s(t)=raiz26,(t-1)
Reparametrização por arco:
r(s)=l(4-tfracsraiz26,,1+tfrac4sraiz26,,3+tfrac3sraiz26r)
Ponto a 4 unidades de arco de P:
l(4-tfrac4raiz26,,1+tfrac16raiz26,,3+tfrac12raiz26r)

Exercícios relacionados