Find the arc length function for the curve measured from the point P in the direction of increasing t and then reparametrize the curve with respect to arc length starting from P.
Find the point 4 units along the curve (in the direction of increasing t ) from P.
r(t)=e^t sin t i+e^t cos t j+raiz2 e^t k, P(0,1, raiz2)

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  1. A função comprimento de arco s(t) medida a partir de P=r(0) no sentido de t crescente.
  2. A reparametrização da curva por arco, isto é, r em função de s.
  3. O ponto que está a 4 unidades de arco de P no sentido de t crescente.
    O conteúdo necessário é o comprimento de arco de uma curva no espaço e a técnica de inverter essa relação para obter uma parametrização isócrona.

Passo 2

Calcular a derivada r'(t). Como
r(t)=e^tsin t, i + e^tcos t, j + raiz2,e^t, k,
temos
r'(t) =l(e^tsin t + e^tcos tr) i +l(e^tcos t - e^tsin tr) j + raiz2,e^t, k

Passo 3

Calcular a norma | r'(t)|.
| r'(t)|^2 =e^2tl[(sin t+cos t)^2+(cos t-sin t)^2+2r]
Mas (sin t+cos t)^2+(cos t-sin t)^2=2, logo
| r'(t)|^2=4e^2t Longrightarrow | r'(t)|=2e^t

Passo 4

Obter s(t) integrando a velocidade de 0 a t:
s(t)=integral0^t2e^u,du =2l[e^ur]0^t =2l(e^t-1r)

Passo 5

Inverter s=2(e^t-1) para t e reparametrizar.
e^t=1+s2, t=ln!l(1+s2r)
Substituindo em r(t) fica
r(s) =l(1+tfracs2r) sin!l(ln!l(1+tfracs2r)r), i +l(1+tfracs2r) cos!l(ln!l(1+tfracs2r)r), j +raiz2l(1+tfracs2r), k

Passo 6

Encontrar o ponto a s=4. Da relação s=2(e^t-1), para s=4 temos e^t=3 e t=ln3. Logo
r(4) = rl(t=ln3r) =l(3sin(ln3),,3cos(ln3),,3raiz2r)

Resposta

A função comprimento de arco é
s(t)=2l(e^t-1r)
A reparametrização por arco é
r(s) =l(1+tfracs2r) sin!l(ln!l(1+tfracs2r)r), i +l(1+tfracs2r) cos!l(ln!l(1+tfracs2r)r), j +raiz2l(1+tfracs2r), k
O ponto 4 unidades de arco a partir de P é
l(3sin(ln3),,3cos(ln3),,3raiz2r)

Exercícios relacionados