Find the arc length function for the curve measured from the point
in the direction of increasing
and then reparametrize the curve with respect to arc length starting from
.
Find the point 4 units along the curve (in the direction of increasing
) from
.
Find the point 4 units along the curve (in the direction of increasing
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- A função comprimento de arco
medida a partir de no sentido de crescente. - A reparametrização da curva por arco, isto é,
em função de . - O ponto que está a 4 unidades de arco de
no sentido de crescente.
O conteúdo necessário é o comprimento de arco de uma curva no espaço e a técnica de inverter essa relação para obter uma parametrização isócrona.
Passo 2
Calcular a derivada
. Como
temos
Passo 3
Calcular a norma
.
Mas
, logo
Passo 4
Obter
integrando a velocidade de
a
:
Passo 5
Inverter
para
e reparametrizar.
Substituindo em
fica
Passo 6
Encontrar o ponto a
. Da relação
, para
temos
e
. Logo
Resposta
A função comprimento de arco é
A reparametrização por arco é
O ponto 4 unidades de arco a partir de
é