Problemas 25-32 Calcule os determiantes das matrizes.
G=(rrrrr2 & 0 & pi & 0 & 0 -2 & 2 & 95 & 0 & 2 4 & 5 & 5 & -2 & 5 pi4 -1 & 1 & pi & 0 & 0 pi & 0 & -2 & 0 & 0)

Passo 1

O enunciado pede o determinante da matriz
G = 2 & 0 & pi & 0 & 0 -2 & 2 & tfrac95 & 0 & 2 4 & 5 & 5 & -2 & tfrac5pi4 -1 & 1 & pi & 0 & 0 pi & 0 & -2 & 0 & 0
Vamos usar expansão de Laplace em colunas que têm muitos zeros para simplificar o cálculo.

Passo 2

Observe que a coluna 4 de G tem só um elemento não nulo, -2, na posição (3,4). Pela expansão de Laplace nesta coluna,
det G =(-1)^3+4,(-2),det M =2,det M,
onde M é a submatriz 4times 4 obtida eliminando a linha 3 e a coluna 4 de G.

Passo 3

Escrevendo M pelas linhas 1,2, 4,5 e colunas 1,2, 3,5 de G, temos
M = 2 & 0 & pi & 0 -2 & 2 & tfrac95 & 2 -1 & 1 & pi & 0 pi & 0 & -2 & 0
Na coluna 4 de M há só o elemento 2 em (2,4). Expansão de Laplace dá
det M =(-1)^2+4,2,det N =2,det N,
onde N é a submatriz 3times 3 obtida eliminando a linha 2 e a coluna 4 de M.

Passo 4

A submatriz N tem linhas 1,3, 4 e colunas 1,2, 3 de M:
N = 2 & 0 & pi -1 & 1 & pi pi & 0 & -2
Calculando seu determinante por regra de Sarrus ou expansão de Laplace na primeira linha,
det N =2l(1cdot(-2)-picdot0r) -0l(dotsr) +pil((-1)cdot0-1cdotpir) =-4-pi^2

Passo 5

Reunindo os fatores:
det G = 2det M = 2,(2det N)=4det N = 4(-4-pi^2) = -16 - 4pi^2

Resposta

det G = -16 - 4pi^2

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