Nos Problemas 25-34, determine a expansão de co-senos ou senos em meia escala da função indicada.
f(x)= \begin{cases}0, & 0<x<\frac{1}{2} \\\\ 1, & \frac{1}{2} \leq x<1\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função definida em (0,1)\): \[f(x)= \begin{cases}0, & 0<x<\tfrac{1}{2}, \\[4pt] 1, & \tfrac{1}{2}\le x<1,\end{cases}
e pede as expansões em meia-escala (half-range) usando co-senos ou senos sobre o intervalo ((0,1)].
Informações importantes fornecidas:
  • O domínio considerado para a expansão é 0<x<1.
  • A função é nula em (0,\tfrac{1}{2}) e igual a 1 em [\tfrac{1}{2},1).
  • Precisa-se obter a série de cossenos de meia-escala (extensão par em (-1,1)) e a série de senos de meia-escala (extensão ímpar em (-1,1)).
O que vamos entregar:
  • As fórmulas dos coeficientes e a dedução passo a passo dos coeficientes.
  • A expressão final da expansão em cossenos (meia-escala).
  • A expressão final da expansão em senos (meia-escala).]

Passo 2

Breve revisão das fórmulas de meia-escala (caso L=1):
  • Série de cossenos (extensão par): para 0<x<1
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n\cos(n\pi x),
com
a_n = 2\int_{0}^{1} f(x)\cos(n\pi x)\,dx\quad (n=0,1,2,\dots),
onde, por convenção, a_0=2\int_0^1 f(x)\,dx.
  • Série de senos (extensão ímpar): para 0<x<1
f(x)\sim \sum_{n=1}^{\infty} b_n\sin(n\pi x),
com
b_n = 2\int_{0}^{1} f(x)\sin(n\pi x)\,dx\quad (n=1,2,\dots).
Explicação rápida das fórmulas:
  • Os fatores 2 aparecem porque estamos normalizando para o intervalo (0,1) (o L genérico vale 1 aqui).
  • Em prática, como f(x) é zero em (0,\tfrac12), as integrais reduzem para o intervalo [\tfrac12,1].

Passo 3

Cálculo de a_0:
a_0 = 2\int_{0}^{1} f(x)\,dx = 2\int_{1/2}^{1} 1\,dx = 2\Big[x\Big]_{1/2}^{1} = 2\left(1-\tfrac{1}{2}\right)=1.
Portanto o termo constante é
\frac{a_0}{2}=\frac{1}{2}.

Passo 4

Cálculo dos coeficientes a_n ( n\ge1):
a_n = 2\int_{0}^{1} f(x)\cos(n\pi x)\,dx = 2\int_{1/2}^{1} \cos(n\pi x)\,dx.
Integramos explicitamente:
\int \cos(n\pi x)\,dx = \frac{1}{n\pi}\sin(n\pi x),
logo
a_n = 2\left[\frac{1}{n\pi}\sin(n\pi x)\right]_{x=1/2}^{x=1} = \frac{2}{n\pi}\big(\sin(n\pi)-\sin(n\pi/2)\big).
Como \sin(n\pi)=0 para inteiro n, fica
a_n = -\frac{2}{n\pi}\sin\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big).
Agora simplificamos usando o comportamento de \sin(\tfrac{n\pi}{2}):
  • Se n é par, \sin(\tfrac{n\pi}{2})=0 a_{2m}=0.
  • Se n é ímpar, coloque n=2m-1. Tem-se
\sin\!\big(\tfrac{(2m-1)\pi}{2}\big)=(-1)^{\,m-1}.
Então para n=2m-1,
a_{2m-1} = -\frac{2}{(2m-1)\pi}\,(-1)^{\,m-1} = \frac{2(-1)^m}{(2m-1)\pi}.

Passo 5

Escrevendo a série de cossenos final (meia-escala):
f(x)=\frac{1}{2}+\sum_{m=1}^{\infty}\frac{2(-1)^m}{(2m-1)\pi}\cos\big((2m-1)\pi x\big).
(Observação: os termos de índice par são nulos, por isso aparecem apenas os modos ímpares (2m-1).)

Passo 6

Cálculo dos coeficientes b_n para a série de senos:
b_n = 2\int_{0}^{1} f(x)\sin(n\pi x)\,dx = 2\int_{1/2}^{1} \sin(n\pi x)\,dx.
Integramos:
\int \sin(n\pi x)\,dx = -\frac{1}{n\pi}\cos(n\pi x),
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b_n = 2\left[-\frac{1}{n\pi}\cos(n\pi x)\right]_{1/2}^{1} = -\frac{2}{n\pi}\big(\cos(n\pi)-\cos(n\pi/2)\big).
Como \cos(n\pi)=(-1)^n, obtemos a forma geral
b_n = -\frac{2}{n\pi}\big((-1)^n-\cos(\tfrac{n\pi}{2})\big).

Passo 7

Simplificação de b_n por casos (padrões de \cos(\tfrac{n\pi}{2})):
  • Se n é ímpar, n=2m-1, então \cos(\tfrac{n\pi}{2})=0 e (-1)^n=-1. Assim
b_{2m-1} = -\frac{2}{(2m-1)\pi}(-1)=\frac{2}{(2m-1)\pi}.
  • Se n é par, escreva n=2m. Então \cos(\tfrac{n\pi}{2})=\cos(m\pi)=(-1)^m e (-1)^n=1. Assim
b_{2m} = -\frac{2}{2m\pi}\big(1-(-1)^m\big) = -\frac{1}{m\pi}\big(1-(-1)^m\big).
Dessa expressão seguem dois subcasos:
  • Se m é par ( n=4k), 1-(-1)^m=0 b_{4k}=0.
  • Se m é ímpar ( n=4k-2), 1-(-1)^m=2 b_{4k-2} = -\frac{2}{m\pi} = -\frac{4}{(4k-2)\pi}.
Resumo compacto:
b_n=\begin{cases} \dfrac{2}{(2m-1)\pi}, & n=2m-1\\ (\text{ímpar}),\\[6pt] 0, & n=4k,\\[6pt] -\dfrac{4}{n\pi}, & n=4k-2. \end{cases}í]

Passo 8

Escrevendo a série de senos final (meia-escala) de forma clara:
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} b_n\sin(n\pi x),
com b_n dado pela fórmula por casos acima. Alternativamente, separando somas em termos ímpares e nos n\equiv2\pmod 4:
f(x)=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{2}{(2m-1)\pi}\sin\big((2m-1)\pi x\big) -\sum_{k=1}^{\infty}\frac{4}{(4k-2)\pi}\sin\big((4k-2)\pi x\big),
onde a segunda soma corresponde aos modos n=2,6,10,\dots (isto é, n\equiv2\pmod4).

Resposta

\displaystyle\text{Expansão em cossenos (meia-escala):}\quad f(x)=\frac{1}{2}+\sum_{m=1}^{\infty}\frac{2(-1)^m}{(2m-1)\pi}\cos\big((2m-1)\pi x\big)\)\n \(\displaystyle\text{Expansão em senos (meia-escala):}\quad f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} b_n\sin(n\pi x),\quad b_n=\begin{cases} \dfrac{2}{(2m-1)\pi}, & n=2m-1,\\[6pt] 0, & n=4k,\\[6pt] -\dfrac{4}{n\pi}, & n=4k-2. \end{cases}]

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