Nos Problemas 25-34, determine a expansão de co-senos ou senos em meia escala da função indicada.
Passo 1
O enunciado dá a função definida em
e pede as expansões em meia-escala (half-range) usando co-senos ou senos sobre o intervalo ((0,1)].
Informações importantes fornecidas:
- O domínio considerado para a expansão é
. - A função é nula em
e igual a 1 em . - Precisa-se obter a série de cossenos de meia-escala (extensão par em
) e a série de senos de meia-escala (extensão ímpar em ).
O que vamos entregar:
- As fórmulas dos coeficientes e a dedução passo a passo dos coeficientes.
- A expressão final da expansão em cossenos (meia-escala).
- A expressão final da expansão em senos (meia-escala).]
Passo 2
Breve revisão das fórmulas de meia-escala (caso
):
- Série de cossenos (extensão par): para
com
onde, por convenção,
.
- Série de senos (extensão ímpar): para
com
Explicação rápida das fórmulas:
- Os fatores
aparecem porque estamos normalizando para o intervalo (o genérico vale aqui). - Em prática, como
é zero em , as integrais reduzem para o intervalo .
Passo 3
Cálculo de
:
Portanto o termo constante é
Passo 4
Cálculo dos coeficientes
(
):
Integramos explicitamente:
logo
Como
para inteiro
, fica
Agora simplificamos usando o comportamento de
:
- Se
é par, ⇒ . - Se
é ímpar, coloque . Tem-se
Então para
,
Passo 5
Escrevendo a série de cossenos final (meia-escala):
(Observação: os termos de índice par são nulos, por isso aparecem apenas os modos ímpares
.)
Passo 6
Cálculo dos coeficientes
para a série de senos:
Integramos:
logo
Como
, obtemos a forma geral
Passo 7
Simplificação de
por casos (padrões de
):
- Se
é ímpar, , então e . Assim
- Se
é par, escreva . Então e . Assim
Dessa expressão seguem dois subcasos:
- Se
é par ( ), ⇒ . - Se
é ímpar ( ), ⇒
Resumo compacto:
Passo 8
Escrevendo a série de senos final (meia-escala) de forma clara:
com
dado pela fórmula por casos acima. Alternativamente, separando somas em termos ímpares e nos
:
onde a segunda soma corresponde aos modos
(isto é,
).
Resposta
]