Nos Problemas 25-34, determine a expansão de co-senos ou senos em meia escala da função indicada.
f(x)=\left\{\begin{aligned} x, & 0 & <x<\pi / 2 \\\ \pi-x, & \pi / 2 & \leq x<\pi\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado fornece a função definida em 0<x<\pi\) por partes: \[f(x)=\begin{cases} x, & 0<x<\dfrac{\pi}{2},\\[6pt] \pi-x, & \dfrac{\pi}{2}\le x<\pi. \end{cases}
O pedido é: determinar a expansão “de cossenos ou senos em meia escala” da função indicada (ou seja, uma série de Fourier em meia-intervalo, conhecida como série de cossenos ou série de senos sobre (0,\pi)\]). Informações relevantes dadas: - A função está definida em \((0,\pi) e é dada por duas expressões em dois subintervalos.
- Não há valores em x=0,\pi fornecidos (mas isso não impede a expansão).
- A questão pede uma expansão de meia-escala (half-range) — podemos escolher a expansão em cossenos (extensão par) ou em senos (extensão ímpar).]

Passo 2

Escolho aqui construir a expansão por cossenos (série de cossenos em meia-escala) sobre o intervalo (0,\pi). Rápida justificativa: é um método padrão para funções em (0,L) (aqui L=\pi) e, como veremos, a função tem simetrias que tornam a série de cossenos agradável (muitos coeficientes se anulam).
Agora a teoria necessária (passo-a-passo, sem pressa):
  • Definição (fórmula): a série de cossenos de meia-escala em (0,L) é
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n \cos\!\big(\tfrac{n\pi}{L}x\big),
onde (para L=\pi) as fórmulas dos coeficientes são
a_0=\frac{2}{L}\int_0^L f(x)\,dx,\qquad a_n=\frac{2}{L}\int_0^L f(x)\cos\!\big(\tfrac{n\pi}{L}x\big)\,dx\quad(n\ge1).
  • Interpretação das variáveis: L é o comprimento do intervalo (aqui L=\pi). Os a_n são números (coeficientes) que pesam cada cosseno \cos(\tfrac{n\pi}{L}x). A série com cossenos corresponde à extensão par de f para [-L,L].
  • No nosso caso L=\pi, então as fórmulas ficam mais simples:
a_0=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\,dx,\qquad a_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\cos(nx)\,dx.

Passo 3

Calcular a_0. Primeiro integro f em 0 a \pi usando a definição por partes:
\int_0^\pi f(x)\,dx=\int_0^{\pi/2} x\,dx+\int_{\pi/2}^{\pi}(\pi-x)\,dx.
Calcule cada integral:
\int_0^{\pi/2} x\,dx=\left.\frac{x^2}{2}\right|_0^{\pi/2}=\frac{\pi^2}{8},
\int_{\pi/2}^{\pi}(\pi-x)\,dx=\text{(substituindo }u=\pi-x\text{)}=\int_0^{\pi/2} u\,du=\frac{\pi^2}{8}.
Portanto
\int_0^\pi f(x)\,dx=\frac{\pi^2}{8}+\frac{\pi^2}{8}=\frac{\pi^2}{4}.
Agora
a_0=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{\pi^2}{4}=\frac{\pi}{2}.
Logo o termo constante da série será a_0/2=\dfrac{\pi}{4}.

Passo 4

Calcular a_n para n\ge1. Pela fórmula:
a_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\cos(nx)\,dx =\frac{2}{\pi}\Big(\int_0^{\pi/2} x\cos(nx)\,dx+\int_{\pi/2}^{\pi}(\pi-x)\cos(nx)\,dx\Big).
Usaremos uma transformação no segundo integral para aproveitar simetrias. Faça a mudança y=\pi-x no segundo termo. Então quando x vai de \pi/2 a \pi, y vai de \pi/2 a 0, e \cos(nx)=\cos(n(\pi-y))=\cos(n\pi)\cos(ny) (pois \sin(n\pi)=0). Assim
\int_{\pi/2}^{\pi}(\pi-x)\cos(nx)\,dx =\int_{\pi/2}^{0} y\cos(n\pi)\cos(ny)(-dy) =\cos(n\pi)\int_0^{\pi/2} y\cos(ny)\,dy.
Portanto os dois termos somam-se:
\int_0^{\pi/2} x\cos(nx)\,dx+\int_{\pi/2}^{\pi}(\pi-x)\cos(nx)\,dx =\big(1+\cos(n\pi)\big)\int_0^{\pi/2} x\cos(nx)\,dx.
Observe que \cos(n\pi)=(-1)^n, então o fator multiplicador é 1+(-1)^n, que é 0 quando n é ímpar e 2 quando n é par. Conclusão parcial: a_n=0 para todo n ímpar.

Passo 5

Calcular a integral
I_n:=\int_0^{\pi/2} x\cos(nx)\,dx
por partes. Tome u=x\Rightarrow du=dx e dv=\cos(nx)\,dx\Rightarrow v=\dfrac{1}{n}\sin(nx). Então
I_n=\left.\frac{x}{n}\sin(nx)\right|_0^{\pi/2}-\int_0^{\pi/2}\frac{1}{n}\sin(nx)\,dx =\frac{\pi}{2n}\sin\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)+\frac{1}{n^2}\Big(\cos\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)-1\Big).
Portanto, usando o fator 1+(-1)^n,
a_n=\frac{2}{\pi}\big(1+(-1)^n\big)I_n =\frac{2}{\pi}\big(1+(-1)^n\big)\left[\frac{\pi}{2n}\sin\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)+\frac{1}{n^2}\Big(\cos\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)-1\Big)\right].
Mas já sabemos que se n é ímpar então 1+(-1)^n=0\Rightarrow a_n=0. Então só precisamos tratar n par. Coloque n=2k com k\ge1. Para n=2k:
\sin\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)=\sin(k\pi)=0,\qquad \cos\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)=\cos(k\pi)=(-1)^k.
Assim
I_{2k}=\frac{1}{4k^2}\big((-1)^k-1\big).
E como 1+(-1)^{2k}=2, vem
a_{2k}=\frac{2}{\pi}\cdot 2\cdot I_{2k} =\frac{4}{\pi}\cdot\frac{1}{4k^2}\big((-1)^k-1\big) =\frac{(-1)^k-1}{\pi k^2}.

Passo 6

Interpretação das fórmulas e simplificação do somatório. O coeficiente a_{2k} pode ser escrito como
a_{2k}=\frac{(-1)^k-1}{\pi k^2}.
Note que:
  • se k é par então (-1)^k=1 e a_{2k}=0;
  • se k é ímpar então (-1)^k=-1 e a_{2k}=-\dfrac{2}{\pi k^2}.
Logo somente os termos com n=2k e k ímpar (isto é, n=4m+2) sobrevivem na série. Reindexando com k=2m+1 ( m=0,1,2,\dots), obtemos a forma mais compacta:
f(x)=\frac{\pi}{4}-\frac{2}{\pi}\sum_{m=0}^\infty\frac{1}{(2m+1)^2}\cos\big((4m+2)x\big).
Isso é uma representação por série de cossenos válida para 0<x<\pi (e que, pela extensão par, corresponde à expansão periódica com período 2\pi).

Resposta

f(x)=\frac{\pi}{4}-\frac{2}{\pi}\sum_{m=0}^\infty\frac{1}{(2m+1)^2}\cos\big((4m+2)x\big).

Exercícios relacionados