Nos Problemas 25-34, determine a expansão de co-senos ou senos em meia escala da função indicada. f(x)=\left\{\begin{aligned} x, & 0 & <x<\pi / 2 \\\ \pi-x, & \pi / 2 & \leq x<\pi\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado fornece a função definida em 0<x<\pi\) por partes:
\[f(x)=\begin{cases} x, & 0<x<\dfrac{\pi}{2},\\[6pt] \pi-x, & \dfrac{\pi}{2}\le x<\pi. \end{cases}
O pedido é: determinar a expansão “de cossenos ou senos em meia escala” da função indicada (ou seja, uma série de Fourier em meia-intervalo, conhecida como série de cossenos ou série de senos sobre (0,\pi)\]).
Informações relevantes dadas:
- A função está definida em \((0,\pi) e é dada por duas expressões em dois subintervalos.
- Não há valores em x=0,\pi fornecidos (mas isso não impede a expansão).
- A questão pede uma expansão de meia-escala (half-range) — podemos escolher a expansão em cossenos (extensão par) ou em senos (extensão ímpar).]
Passo 2
Escolho aqui construir a expansão por cossenos (série de cossenos em meia-escala) sobre o intervalo (0,\pi). Rápida justificativa: é um método padrão para funções em (0,L) (aqui L=\pi) e, como veremos, a função tem simetrias que tornam a série de cossenos agradável (muitos coeficientes se anulam).
Agora a teoria necessária (passo-a-passo, sem pressa):
Definição (fórmula): a série de cossenos de meia-escala em (0,L) é
Interpretação das variáveis: L é o comprimento do intervalo (aqui L=\pi). Os a_n são números (coeficientes) que pesam cada cosseno \cos(\tfrac{n\pi}{L}x). A série com cossenos corresponde à extensão par de f para [-L,L].
No nosso caso L=\pi, então as fórmulas ficam mais simples:
Usaremos uma transformação no segundo integral para aproveitar simetrias. Faça a mudança y=\pi-x no segundo termo. Então quando x vai de \pi/2 a \pi, y vai de \pi/2 a 0, e \cos(nx)=\cos(n(\pi-y))=\cos(n\pi)\cos(ny) (pois \sin(n\pi)=0). Assim
Observe que \cos(n\pi)=(-1)^n, então o fator multiplicador é 1+(-1)^n, que é 0 quando n é ímpar e 2 quando n é par. Conclusão parcial: a_n=0 para todo n ímpar.
Passo 5
Calcular a integral
I_n:=\int_0^{\pi/2} x\cos(nx)\,dx
por partes. Tome u=x\Rightarrow du=dx e dv=\cos(nx)\,dx\Rightarrow v=\dfrac{1}{n}\sin(nx). Então