Nos Problemas 25-34, determine a expansão de co-senos ou senos em meia escala da função indicada.
f(x)= \begin{cases}0, & 0<x<\pi \\\ x-\pi, & \pi \leq x<2 \pi\end{cases}

Passo 1

O enunciado fornece a função definida por partes em 0<x<2\pi\): \[f(x)= \begin{cases}0, & 0<x<\pi,\\[4pt] x-\pi, & \pi \le x<2\pi.\end{cases}
O pedido é obter a(s) expansão(ões) de meia‑escala (ou seja, expansão por senos ou por cossenos) dessa função. Informações relevantes:
  • A função está dada no intervalo 0<x<2\pi\]. - Uma expansão "de meia‑escala" em \(0<x<L significa: estender f como função par (para série de cossenos) ou ímpar (para série de senos) no intervalo (-L,L), o que gera uma série de cossenos ou de senos com período 2L.
    - Aqui L=2\pi. Portanto as bases serão \cos\!\big(\tfrac{n\pi x}{L}\big)=\cos\!\big(\tfrac{n x}{2}\big) para cossenos e \sin\!\big(\tfrac{n x}{2}\big) para senos.
    A partir daqui vou calcular as duas séries (meia‑escala par → cossenos; meia‑escala ímpar → senos), passo a passo.]

Passo 2

Breve aula: fórmulas das séries de meia‑escala no intervalo 0<x<L.
  • Série de cossenos (extensão par): a representação é
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right),
com
a_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx,\qquad n=0,1,2,\dots
(observar que a_0 usa a mesma fórmula com n=0).
  • Série de senos (extensão ímpar): a representação é
f(x)\sim \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right),
com
b_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx,\qquad n\ge1.
No nosso caso L=2\pi. Assim as bases são \cos\!\big(\tfrac{n x}{2}\big) e \sin\!\big(\tfrac{n x}{2}\big) e o fator \tfrac{2}{L}=\tfrac{1}{\pi}.

Passo 3

Calcular a_0. Usando a_0=\dfrac{2}{L}\int_0^L f(x)\,dx com L=2\pi:
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} f(x)\,dx.
Como f(x)=0 em (0,\pi) e f(x)=x-\pi em [\pi,2\pi), tem-se
\int_{0}^{2\pi} f(x)\,dx=\int_{\pi}^{2\pi} (x-\pi)\,dx.
Calcule a integral:
\int_{\pi}^{2\pi} (x-\pi)\,dx=\left[\frac{(x-\pi)^2}{2}\right]_{\pi}^{2\pi}=\frac{\pi^2}{2}.
Portanto
a_0=\frac{1}{\pi}\cdot\frac{\pi^2}{2}=\frac{\pi}{2}.
Na série o termo constante será \dfrac{a_0}{2}=\dfrac{\pi}{4}.

Passo 4

Calcular a_n para n\ge1. Pela fórmula com L=2\pi:
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} f(x)\cos\!\left(\frac{n x}{2}\right)\,dx =\frac{1}{\pi}\int_{\pi}^{2\pi} (x-\pi)\cos\!\left(\frac{n x}{2}\right)\,dx.
Faço a substituição t=x-\pi (então t\in[0,\pi], x=t+\pi). Assim
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} t\cos\!\left(\frac{n(t+\pi)}{2}\right)\,dt.
Use a fórmula de adição do cosseno:
\cos\!\left(\frac{n(t+\pi)}{2}\right)=\cos\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)\cos\!\left(\frac{n t}{2}\right)-\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)\sin\!\left(\frac{n t}{2}\right).
Logo
a_n=\frac{\cos\!\left(\tfrac{n\pi}{2}\right)}{\pi}\int_{0}^{\pi} t\cos\!\left(\frac{n t}{2}\right)dt -\frac{\sin\!\left(\tfrac{n\pi}{2}\right)}{\pi}\int_{0}^{\pi} t\sin\!\left(\frac{n t}{2}\right)dt.

Passo 5

Calcular as integrais por partes. Para \alpha=\dfrac{n}{2} defino
I_c=\int_{0}^{\pi} t\cos(\alpha t)\,dt,\qquad I_s=\int_{0}^{\pi} t\sin(\alpha t)\,dt.
Integração por partes fornece (mostrando rapidamente o processo):
I_c=\left.\frac{t}{\alpha}\sin(\alpha t)\right|_{0}^{\pi}+\frac{1}{\alpha^2}\big(\cos(\alpha\pi)-1\big) =\frac{\pi}{\alpha}\sin(\alpha\pi)+\frac{1}{\alpha^2}\big(\cos(\alpha\pi)-1\big),
I_s=\left.-\frac{t}{\alpha}\cos(\alpha t)\right|_{0}^{\pi}+\frac{1}{\alpha^2}\sin(\alpha\pi) =-\frac{\pi}{\alpha}\cos(\alpha\pi)+\frac{1}{\alpha^2}\sin(\alpha\pi).
Substituindo \alpha=\dfrac{n}{2} obtemos (após simplificar fatores):
I_c=\frac{2\pi}{n}\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)+\frac{4}{n^2}\Big(\cos\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)-1\Big),
I_s=-\frac{2\pi}{n}\cos\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)+\frac{4}{n^2}\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right).

Passo 6

Agora volto para a_n. Substituindo I_c e I_s em
a_n=\frac{\cos\!\left(\tfrac{n\pi}{2}\right)}{\pi}I_c-\frac{\sin\!\left(\tfrac{n\pi}{2}\right)}{\pi}I_s
e simplificando (detalhes algébricos feitos passo a passo) obtém‑se a expressão compacta
a_n=\frac{4}{\pi n^2}\Big((-1)^n-\cos\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)\Big).
É útil escrever isso por casos (usar os valores de \cos\!\tfrac{n\pi}{2} e (-1)^n):
  • Se n é ímpar ( n=1,3,5,\dots) então \cos\!\tfrac{n\pi}{2}=0 e (-1)^n=-1, logo
a_n=-\frac{4}{\pi n^2}\quad\text{(para \(n\) ímpar).}í
  • Se n\equiv2\pmod4 ( n=2,6,10,\dots) então \cos\!\tfrac{n\pi}{2}=-1 e (-1)^n=1, logo
a_n=\frac{8}{\pi n^2}\quad\text{(para \(n\equiv2\pmod4\)).}
  • Se n\equiv0\pmod4 ( n=4,8,12,\dots) então \cos\!\tfrac{n\pi}{2}=1 e (-1)^n=1, logo
a_n=0\quad\text{(para \(n\equiv0\pmod4\)).}

Passo 7

Montar a série de cossenos. Usando a_0=\dfrac{\pi}{2} e os a_n acima, a expansão de meia‑escala (cossenos, extensão par) no intervalo 0<x<2\pi é
f(x)\sim \frac{\pi}{4}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos\!\left(\frac{n x}{2}\right),
com a_n dado pelos casos do passo anterior.

Passo 8

Agora a série de senos (extensão ímpar). Coeficientes:
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} f(x)\sin\!\left(\frac{n x}{2}\right)\,dx =\frac{1}{\pi}\int_{\pi}^{2\pi} (x-\pi)\sin\!\left(\frac{n x}{2}\right)\,dx.
Novamente substituindo t=x-\pi e usando a identidade de adição para o seno, chega‑se (após cálculo análogo ao de a_n) à fórmula
b_n=-\frac{2(-1)^n}{n}-\frac{4}{\pi n^2}\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right).
Novamente escrevendo por casos:
  • Se n é par ( n=2k) então \sin\!\tfrac{n\pi}{2}=0 e (-1)^n=1, portanto
b_n=-\frac{2}{n}\quad\text{(para \(n\) par).}
  • Se n é ímpar ( n=2k+1) então \sin\!\tfrac{n\pi}{2}=(-1)^k e (-1)^n=-1, portanto
b_n=\frac{2}{n}-\frac{4(-1)^k}{\pi n^2}\quad\text{(para \(n=2k+1\)).}

Passo 9

Montar a série de senos. A expansão de meia‑escala (senos, extensão ímpar) é
f(x)\sim \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin\!\left(\frac{n x}{2}\right),
com b_n dado pelos casos do passo anterior.

Resposta

Série de cossenos (extensão par, 0<x<2\pi):
f(x)\sim \frac{\pi}{4}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n\cos\!\left(\frac{n x}{2}\right),
onde
a_n=\frac{4}{\pi n^2}\Big((-1)^n-\cos\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)\Big)
(ou por casos: a_n=-\dfrac{4}{\pi n^2} para n ímpar; a_n=\dfrac{8}{\pi n^2} para n\equiv2\pmod4; a_n=0 para n\equiv0\pmod4.)
Série de senos (extensão ímpar, 0<x<2\pi):
f(x)\sim \sum_{n=1}^{\infty} b_n\sin\!\left(\frac{n x}{2}\right),
onde
b_n=-\frac{2(-1)^n}{n}-\frac{4}{\pi n^2}\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)
(ou por casos: b_n=-\dfrac{2}{n} para n par; b_n=\dfrac{2}{n}-\dfrac{4(-1)^k}{\pi n^2} para n=2k+1 ímpar).

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