O enunciado fornece a função definida por partes em 0<x<2\pi\):
\[f(x)= \begin{cases}0, & 0<x<\pi,\\[4pt] x-\pi, & \pi \le x<2\pi.\end{cases}
O pedido é obter a(s) expansão(ões) de meia‑escala (ou seja, expansão por senos ou por cossenos) dessa função. Informações relevantes:
A função está dada no intervalo 0<x<2\pi\].
- Uma expansão "de meia‑escala" em \(0<x<L significa: estender f como função par (para série de cossenos) ou ímpar (para série de senos) no intervalo (-L,L), o que gera uma série de cossenos ou de senos com período 2L.
- Aqui L=2\pi. Portanto as bases serão \cos\!\big(\tfrac{n\pi x}{L}\big)=\cos\!\big(\tfrac{n x}{2}\big) para cossenos e \sin\!\big(\tfrac{n x}{2}\big) para senos.
A partir daqui vou calcular as duas séries (meia‑escala par → cossenos; meia‑escala ímpar → senos), passo a passo.]
Passo 2
Breve aula: fórmulas das séries de meia‑escala no intervalo 0<x<L.
Série de cossenos (extensão par): a representação é