Nos problemas 9-26, encontre uma solução particular para a equação diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma solução particular para a equação diferencial
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar entender o método de coeficientes a determinar, que nos ajuda a encontrar uma solução específica que satisfaça a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte direita da equação, que é
. Nosso objetivo é assumir uma forma para a solução particular que se assemelhe a essa expressão.
Já que temos
multiplicado por um polinômio de primeiro grau (o
), vamos supor que a solução particular
tenha a forma:
onde
e
são constantes que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, precisamos calcular as derivadas de
para substituí-las na equação original. Vamos calcular a primeira e a segunda derivada de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 4
Agora, substituímos
,
e
na equação diferencial original:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
Distribuindo os termos:
Combinando os termos semelhantes:
Simplificando:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes dos dois lados da equação.
Para o termo com
:
Para o termo constante:
Substituindo
:
Resposta
A solução particular para a equação diferencial dada é