Nos problemas 9-26, encontre uma solução particular para a equação diferencial.
d^2 yd x^2-5 d yd x+6 y=x e^x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma solução particular para a equação diferencial
d^2 yd x^2 - 5 d yd x + 6 y = x e^x
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar entender o método de coeficientes a determinar, que nos ajuda a encontrar uma solução específica que satisfaça a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte direita da equação, que é yp = (A x + B) e^x . Nosso objetivo é assumir uma forma para a solução particular que se assemelhe a essa expressão.
Já que temos multiplicado por um polinômio de primeiro grau (o ), vamos supor que a solução particular tenha a forma:
onde e são constantes que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas de d ypd x = A e^x + (A x + B) e^x = (A x + A + B) e^x para substituí-las na equação original. Vamos calcular a primeira e a segunda derivada de d^2 ypd x^2 = A e^x + (A x + A + B) e^x = (A x + 2A + B) e^x :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 4

Agora, substituímos (A x + 2A + B) e^x - 5 (A x + A + B) e^x + 6 (A x + B) e^x = x e^x , e na equação diferencial original:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
[ (A x + 2A + B) - 5(A x + A + B) + 6(A x + B) ] e^x = x e^x
Distribuindo os termos:
[ A x + 2A + B - 5A x - 5A - 5B + 6A x + 6B ] e^x = x e^x
Combinando os termos semelhantes:
( (A - 5A + 6A)x + (2A - 5A + B - 5B + 6B) ) e^x = x e^x
Simplificando:
(2A x + (-3A + 2B)) e^x = x e^x

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes dos dois lados da equação.
Para o termo com 2A = 1 Rightarrow A = 12 :
-3A + 2B = 0
Para o termo constante:
-3 ( 12 ) + 2B = 0 Rightarrow -32 + 2B = 0 Rightarrow 2B = 32 Rightarrow B = 34
Substituindo :

Resposta

A solução particular para a equação diferencial dada é
yp = ( 12 x + 34 ) e^x

Exercícios relacionados