Nos problemas 9-26, encontre uma solução particular para a equação diferencial.
theta^prime(t)-theta(t)=t sen t

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma solução particular para a equação diferencial linear de primeira ordem
theta'(t)-theta(t)=tsent
Conteúdo: método do fator integrante para equação y'+p(t)y=q(t). Vamos usar o fator integrante para resolver.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
mu(t)=e^integral p(t),dt=e^integral(-1),dt=e^-t
Multiplicando a equação original por e^-t temos

Passo 3

reconhecendo que o lado esquerdo é derivada de produto
(e^-ttheta(t))'=e^-ttsent
Então integraremos os dois lados.

Passo 4

Precisamos calcular
integral e^-ttsent,dt
Fazemos integração por partes: defina u=t e dv=e^-tsent,dt. Com isso avalia-se
integral e^-ttsent,dt=-e^-t2l[t(sent+cos t)+sentr]+C .

Passo 5

Voltando à expressão de e^-ttheta(t)
e^-ttheta(t)=-e^-t2l[t(sent+cos t)+sentr]+C
Multiplicando por e^t obtemos a solução geral

Passo 6

Para extrair uma solução particular basta escolher C=0. Assim

Passo 7

o que nos leva à solução particular

Passo 8

thetap(t)=-12l[tl(sent+cos tr)+sentr]

Resposta

thetap(t)=-12l[tl(sent+cos tr)+sentr]

Exercícios relacionados