Nos problemas 9-26, encontre uma solução particular para a equação diferencial.
Passo 1
Temos a equação diferencial
y’’ + 2y’ + 4y = 111 e^{2t}
cos 3t
cos 3t
É uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo do tipo e^{at} cos(bt). Para resolver precisamos usar o método dos coeficientes indeterminados e escolher um palpite apropriado para y_p.
Passo 2
Como o lado direito é 111 e^{2t} cos 3t, supomos um palpite da forma
Essa escolha vem da regra de que, para e^{at} cos(bt), tentamos e^{at}(A cos(bt)+B sin(bt)).
Passo 3
Calculamos as derivadas de y_p e substituímos na EDO.
Primeiro
Depois
Isso simplifica para
onde C=2A+3B e D=2B-3A. Substituindo na EDO e coletando termos de cos 3t e sin 3t obtemos o sistema
Passo 4
Resolvendo o sistema
Da segunda equação vem 3B=18A ⇒ B=6A. Substituindo na primeira:
3A + 18·(6A) = 111 ⇒ 3A + 108A = 111 ⇒ 111A = 111 ⇒ A = 1,
logo B = 6.