Nos problemas 9-26, encontre uma solução particular para a equação diferencial.
y^prime prime+2 y^prime+4 y=111 e^2 t cos 3 t

Passo 1

Temos a equação diferencial
y’’ + 2y’ + 4y = 111 e^{2t}
cos 3t
É uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo do tipo e^{at} cos(bt). Para resolver precisamos usar o método dos coeficientes indeterminados e escolher um palpite apropriado para y_p.

Passo 2

Como o lado direito é 111 e^{2t} cos 3t, supomos um palpite da forma
Essa escolha vem da regra de que, para e^{at} cos(bt), tentamos e^{at}(A cos(bt)+B sin(bt)).

Passo 3

Calculamos as derivadas de y_p e substituímos na EDO.
Primeiro
Depois
Isso simplifica para
onde C=2A+3B e D=2B-3A. Substituindo na EDO e coletando termos de cos 3t e sin 3t obtemos o sistema
yp' = e^2tl((2A+3B)cos 3t + (2B-3A)sin 3t)
yp'' = e^2tl((2(2A+3B)+3(2B-3A))cos 3t + (2(2B-3A)-3(2A+3B))sin 3t)

Passo 4

Resolvendo o sistema
Da segunda equação vem 3B=18A ⇒ B=6A. Substituindo na primeira:
3A + 18·(6A) = 111 ⇒ 3A + 108A = 111 ⇒ 111A = 111 ⇒ A = 1,
logo B = 6.

Resposta

yp(t) = e^2t(cos 3t + 6sin 3t)

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