Nos problemas 9-26, encontre uma solução particular para a equação diferencial.
y^prime prime+2 y^prime+2 y=4 t e^-1 cos t

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma solução particular para a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
Conteúdo: método dos coeficientes a determinar para termos do tipo polynomial·exponencial·coseno/seno
O que vamos precisar: charact. da parte homogênea para ver ressonância e montar o ansatz apropriado

Passo 2

A parte homogênea é dada por
y''+2y'+2y=0
com equação característica r^2+2r+2=0 cujas raízes são r=-1pm i.
Isso significa que um termo de forçamento e^-tcos t é ressonante (auto semelhante a solução homogênea).

Passo 3

Como o termo de forçamento é 4t e^-tcos t, que é um polinômio de grau 1 vezes e^-tcos t, e como -1+i é raiz simples, multiplicamos o ansatz por t^1. Assim, propomos
yp(t)=t e^-tl((A t+B)cos t+(C t+D)sin tr).

Passo 4

Para simplificar os cálculos, definimos
u(t)=tl((A t+B)cos t+(C t+D)sin tr),
assim yp=e^-tu.
Calculamos
yp' = e^-t(u'-u),
yp''=e^-t(u''-2u'+u)
e substituímos em y''+2y'+2y=e^-t(u''+u).
Logo precisamos resolver
u''+u=4tcos t

Passo 5

Escrevendo
u=(At^2+Bt)cos t+(Ct^2+Dt)sin t,
vemos que
u''+u=(X''+2Y')cos t+(Y''-2X')sin t,
onde X(t)=At^2+Bt e Y(t)=Ct^2+Dt.
Substituindo derivadas:
X''+2Y'=2A+2(2Ct+D)=4t,
Y''-2X'=2C-2(2At+B)=0
Decompondo em potências de t:
- Em t^1: 4C=4 e -4A=0 C=1, A=0.
- Em constante: 2A+2D=0 e 2C-2B=0 D=0, B=1.

Passo 6

Com A=0, B=1, C=1, D=0 obtemos
u(t)=tcos t+t^2sin t
e portanto a particular
yp(t)=e^-tl(tcos t+t^2sin tr)

Resposta

yp(t)=e^-t,(tcos t+t^2sin t)

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