Nos problemas 9-26, encontre uma solução particular para a equação diferencial.
y^prime prime(x)+y(x)=4 x cos x

Passo 1

O exercício pede para encontrar uma solução particular da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
Conteúdo: EDO do tipo
y''(x)+y(x)=4xcos x
E vamos usar o método de coeficientes indeterminados para lidar com o termo não-homogêneo.

Passo 2

A ideia do método de coeficientes indeterminados é chutar uma forma de solução particular inspirada no formato do termo forçante (aqui é um polinômio em x vezes cos x), multiplicando por x quando necessário se houver ressonância com a solução homogênea.

Passo 3

Como o termo direito é 4xcos x (um polinômio de grau 1 vezes cos x), e a solução homogênea é combinação de cos x e sin x, fazemos o palpite
yp(x)=(Ax^2+Bx)cos x+(Cx^2+Dx)sin x

Passo 4

Agora vamos computar as derivadas de yp. Se definirmos
u(x)=Ax^2+Bx,
v(x)=Cx^2+Dx,
e escrevemos yp=nucos x+vsin x, então
yp'=nu'cos x-nusin x+v'sin x+vcos x=(nu'+v)cos x+(v'-nu)sin x,
yp''=(nu''+v')cos x- (nu'+v)sin x+(v''-nu')sin x+(v'-nu)cos x=(P' + Q)cos x+(Q' - P)sin x,
mas é mais direto calcular explicitamente a seguir quando substituirmos.

Passo 5

Substituímos yp em y''+y e organizamos os coeficientes de cos x e sin x. O resultado pode ser escrito como
yp''+yp=[P' + Q + nu]cos x+[Q' - P + v]sin x
e isso deve ser igual a
4xcos x+0cdotsin x

Passo 6

Coletando potências de x em cada coeficiente, obtemos um sistema de equações lineares para A,B,C,D. Da comparação dos termos surge:
  1. coeficiente de x em cos x: 4C=4
  2. termo constante em cos x: 2A+2D=0
  3. coeficiente de x em sin x: -4A=0
  4. termo constante em sin x: 2C-2B=0.

Passo 7

Resolvendo o sistema:
  • De -4A=0 segue A=0.
  • De 4C=4 segue C=1.
  • De 2A+2D=0 com A=0 segue D=0.
  • De 2C-2B=0 com C=1 segue B=1.

Passo 8

Substituindo A=0,B=1,C=1,D=0 no nosso palpite, a solução particular fica
yp(x)=xcos x+x^2sin x

Resposta

yp(x)=xcos x+x^2sin x

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