Nos problemas 9-26, encontre uma solução particular para a equação diferencial.
Passo 1
O exercício pede para encontrar uma solução particular da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
Conteúdo: EDO do tipo
E vamos usar o método de coeficientes indeterminados para lidar com o termo não-homogêneo.
Passo 2
A ideia do método de coeficientes indeterminados é chutar uma forma de solução particular inspirada no formato do termo forçante (aqui é um polinômio em x vezes
), multiplicando por
quando necessário se houver ressonância com a solução homogênea.
Passo 3
Como o termo direito é
(um polinômio de grau 1 vezes
), e a solução homogênea é combinação de
e
, fazemos o palpite
Passo 4
Agora vamos computar as derivadas de
. Se definirmos
e escrevemos
, então
mas é mais direto calcular explicitamente a seguir quando substituirmos.
Passo 5
Substituímos
em
e organizamos os coeficientes de
e
. O resultado pode ser escrito como
e isso deve ser igual a
Passo 6
Coletando potências de
em cada coeficiente, obtemos um sistema de equações lineares para
. Da comparação dos termos surge:
- coeficiente de
em : - termo constante em
: - coeficiente de
em : - termo constante em
: .
Passo 7
Resolvendo o sistema:
- De
segue . - De
segue . - De
com segue . - De
com segue .
Passo 8
Substituindo
no nosso palpite, a solução particular fica