Nos problemas 27-32, determine a forma de uma solução particular para a equação diferencial. (Não determine os coeficientes.)
y^prime prime+9 y=4 t^3 sen 3 t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo . O que a gente precisa fazer é achar a forma de uma solução particular para essa equação. Isso envolve entender um pouco sobre equações diferenciais lineares e como a gente usa o método dos coeficientes a determinar para achar soluções específicas. Vamos precisar pensar na função do lado direito, que é , e ver como construir uma solução que combine com ela.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o lado direito da equação: . Isso significa que a solução particular vai ter a ver com um polinômio de grau 3 multiplicado por . No método dos coeficientes a determinar, a gente geralmente assume que a solução particular tem a mesma forma que o lado não homogêneo, mas com coeficientes a serem encontrados.

Passo 3

Agora, precisamos verificar se as funções ou já são soluções da equação homogênea associada . Resolvendo a equação característica , encontramos raízes imaginárias , o que nos dá soluções e . Como essas funções já são soluções da homogênea, a gente precisa multiplicar nossa suposição inicial por para evitar duplicidade. Além disso, como temos um polinômio de grau 3, multiplicamos por mais uma vez.

Passo 4

Então, juntando tudo, nossa suposição para a solução particular vai ser um polinômio de grau 3 multiplicado por e pelas funções e . Isso garante que a solução não coincida com a homogênea e tenha a forma correta para resolver a equação.

Resposta

A forma da solução particular é
yp(t) = t ( (A t^3 + B t^2 + C t + D) sin 3 t + (E t^3 + F t^2 + G t + H) cos 3 t )

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