Nos problemas 27-32, determine a forma de uma solução particular para a equação diferencial. (Não determine os coeficientes.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo
. O que a gente precisa fazer é achar a forma de uma solução particular para essa equação. Isso envolve entender um pouco sobre equações diferenciais lineares e como a gente usa o método dos coeficientes a determinar para achar soluções específicas. Vamos precisar pensar na função do lado direito, que é
, e ver como construir uma solução que combine com ela.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o lado direito da equação:
. Isso significa que a solução particular vai ter a ver com um polinômio de grau 3 multiplicado por
. No método dos coeficientes a determinar, a gente geralmente assume que a solução particular tem a mesma forma que o lado não homogêneo, mas com coeficientes a serem encontrados.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se as funções
ou
já são soluções da equação homogênea associada
. Resolvendo a equação característica
, encontramos raízes imaginárias
, o que nos dá soluções
e
. Como essas funções já são soluções da homogênea, a gente precisa multiplicar nossa suposição inicial por
para evitar duplicidade. Além disso, como temos um polinômio de grau 3, multiplicamos por
mais uma vez.
Passo 4
Então, juntando tudo, nossa suposição para a solução particular vai ser um polinômio de grau 3 multiplicado por
e pelas funções
e
. Isso garante que a solução não coincida com a homogênea e tenha a forma correta para resolver a equação.
Resposta
A forma da solução particular é