Nos problemas 9-26, encontre uma solução particular para a equação diferencial.
2 x^prime+x=3 r^2

Passo 1

Vamos lá: o problema pede para encontrar uma solução particular para a equação diferencial linear de primeira ordem 2 x' + x = 3 r^2. É conteúdo de ODE linear com termo polinomial e vamos usar o método de palpite com polinômio.

Passo 2

Como o termo não homogêneo é um polinômio de grau 2 em r, fazemos o palpite xp(r) = A r^2 + B r + C, com A, B e C constantes a determinar.
Calculamos a derivada: xp'(r) = 2A r + B. Substituindo na equação, temos 2(2A r + B) + (A r^2 + B r + C) = 3 r^2.

Passo 3

Expandindo e agrupando termos em potências de r, o lado esquerdo vira A r^2 + (4A + B)r + (2B + C). Igualando a 3r^2 + 0r + 0, obtemos o sistema A = 3, 4A + B = 0 e 2B + C = 0, que dá B = -12 e C = 24.
Substituindo de volta, a solução particular fica xp(r) = 3r^2 - 12r + 24.

Resposta

xp(r) = 3r^2 - 12r + 24

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