Nos problemas 9-26, encontre uma solução particular para a equação diferencial.
y^prime prime+4 y=8 sen 2 t

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com um termo não homogêneo. Para encontrar uma solução particular, vamos precisar usar o método da coeficientes indeterminados.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma do termo não homogêneo, que é . Esse tipo de função trigonométrica sugere que nossa solução particular terá termos em e yp = A cos(2t) + B sen(2t) . Então, nossa suposição inicial para a solução particular ( ) será:
onde e são coeficientes que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos derivar yp' = -2A sen(2t) + 2B cos(2t) para encontrar yp'' = -4A cos(2t) - 4B sen(2t) e -4A cos(2t) - 4B sen(2t) + 4(A cos(2t) + B sen(2t)) = 8 sen(2t) :
Substituindo -4A cos(2t) - 4B sen(2t) + 4A cos(2t) + 4B sen(2t) = 8 sen(2t) e na equação original:
Simplificando:
Todos os termos se cancelam, o que indica que a suposição inicial está na forma da solução da equaç��o homogênea. Portanto, precisamos multiplicar nossa suposição por para obter uma solução particular válida.

Passo 4

Vamos ajustar nossa suposição para:
Agora, derivamos novamente:
Simplificando e substituindo na equação original:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes para encontrar yp = t (A cos(2t) + B sen(2t)) e yp' = A cos(2t) + B sen(2t) + t (-2A sen(2t) + 2B cos(2t)) .

Passo 5

Ao comparar os coeficientes, obtemos:
-4A = 0 Rightarrow A = 0
-4B = 8 Rightarrow B = -2
Portanto, a solução particular é:

Resposta

A solução particular para a equação diferencial é:

Exercícios relacionados