Nos problemas 9-26, encontre uma solução particular para a equação diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com um termo não homogêneo. Para encontrar uma solução particular, vamos precisar usar o método da coeficientes indeterminados.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a forma do termo não homogêneo, que é . Esse tipo de função trigonométrica sugere que nossa solução particular terá termos em e
. Então, nossa suposição inicial para a solução particular (
) será:
onde
e
são coeficientes que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos derivar
para encontrar
e
:
Substituindo
e
na equação original:
Simplificando:
Todos os termos se cancelam, o que indica que a suposição inicial está na forma da solução da equaç��o homogênea. Portanto, precisamos multiplicar nossa suposição por
para obter uma solução particular válida.
Passo 4
Vamos ajustar nossa suposição para:
Agora, derivamos novamente:
Simplificando e substituindo na equação original:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes para encontrar
e
.
Passo 5
Ao comparar os coeficientes, obtemos:
Portanto, a solução particular é:
Resposta
A solução particular para a equação diferencial é: