Nos problemas 27-32, determine a forma de uma solução particular para a equação diferencial. (Não determine os coeficientes.)
y^prime prime+2 y^prime+2 y=8 t^3 e^-1 sen t

Passo 1

O enunciado nos pede para achar apenas a forma de uma solução particular da equação y''+2y'+2y=8t^3e^-tsin t, sem calcular os coeficientes. O conteúdo aqui é EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes e método dos coeficientes a determinar a forma do termo particular.

Passo 2

Começamos encontrando a equação característica da parte homogênea: r^2+2r+2=0que tem raízes r=-1pm i. Isso gera solução homogênea com termos e^-tcos t e e^-tsin t.

Passo 3

O termo forçante é 8t^3e^-tsin t, que é da forma e^alpha tPn(t)sin(beta t) com alpha=-1, beta=1 e polinômio de grau n=3. Como e^-tsin t já aparece na homogênea, há ressonância de ordem 1.

Passo 4

Para compensar essa ressonância multiplicamos a hipótese usual por t^1. A forma geral de tentativa é então
yp(t)=t e^-tl[(A t^3+B t^2+C t+D)cos t+(E t^3+F t^2+G t+H)sin tr]

Passo 5

Pronto! Essa é a forma da solução particular, onde A,B,C,D,E,F,G,H são constantes a determinar se quiséssemos achar a solução completa.

Resposta

yp(t)=t e^-tl[(A t^3+B t^2+C t+D)cos t+(E t^3+F t^2+G t+H)sin tr]

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