Nos problemas 33-36, use o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular para a equação de ordem mais alta dada.
y^prime prime prime-y^prime prime+y=sen t

Passo 1

Temos a equação diferencial
y''' - y'' + y = sin t.
O assunto é equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e vamos aplicar o método dos coeficientes indeterminados para achar uma solução particular.

Passo 2

Para um forçamento do tipo sin t, propomos uma solução particular da forma yp(t) = Acos t + Bsin t. Como as raízes do característico r^3 - r^2 + 1 = 0 não são pm i, não há ressonância e essa escolha é válida.

Passo 3

Calculamos as derivadas de yp:
  • yp' = -Asin t + Bcos t,
  • yp'' = -Acos t - Bsin t,
  • yp''' = Asin t - Bcos t.

Passo 4

Substituímos na equação e agrupamos os senos e cossenos:
yp''' - yp'' + yp = (2A - B)cos t + (A + 2B)sin t
Isso deve coincidir com sin t, logo geramos o sistema
2A - B = 0,A + 2B = 1

Passo 5

Resolvendo o sistema achamos A = tfrac15 e B = tfrac25.

Resposta

yp(t) = tfrac15cos t + tfrac25sin t

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