Nos problemas 27-32, determine a forma de uma solução particular para a equação diferencial. (Não determine os coeficientes.)
y^prime prime-6 y^prime+9 y=5 r^6 e^3 r

Passo 1

O enunciado pede para achar a forma de uma solução particular para a equação diferencial não-homogênea
y''-6y'+9y=5r^6e^3r
O conteúdo envolvido é o método dos coeficientes a determinar para termos da forma polinomial vezes exponencial.

Passo 2

Primeiro a gente resolve a parte homogênea: montamos a equação característica
lambda^2-6lambda+9=(lambda-3)^2=0
Isso dá raiz dupla lambda=3 com multiplicidade 2.

Passo 3

Como o termo forçante é 5r^6e^3r, a forma-piloto seria
yp=e^3rP6(r)
onde P6(r) é um polinômio genérico de grau 6.

Passo 4

Mas como e^3r coincide com a raiz dupla da homogênea (multiplicidade 2), multiplicamos por r^2. Assim a forma final do palpite é
yp=e^3rr^2l(A0+A1r+A2r^2+cdots+A6r^6r)

Resposta

yp=e^3rr^2sumk=0^6Ak,r^k

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