Nos problemas 33-36, use o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular para a equação de ordem mais alta dada.
y^prime prime prime+y^prime prime-2 y=t e^prime

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma solução particular da EDO de terceira ordem
y''' + y'' - 2y = t e^t
Isso cai no conteúdo de métodos de coeficientes indeterminados para termos da forma P(t)e^alpha t. Vamos precisar usar a equação característica do homogêneo para ver se e^t é raiz, ajustar o ansatz, e depois determinar os coeficientes.

Passo 2

Primeiro achamos a parte homogênea para ver multiplicidade de r=1. A equação característica é
r^3 + r^2 - 2 = 0
Testando r=1: 1 + 1 - 2 = 0, logo r=1 é raiz simples. Os outros fatores não são 1, então temos multiplicidade 1 em r=1. Como o termo forçado é t e^t, vamos multiplicar nosso polinômio teste por um fator t^1.

Passo 3

Propomos o ansatz
yp(t) = (A t^2 + B t)e^t
Isso corresponde a t vezes um polinômio de grau 1 em t, tudo vezes e^t.

Passo 4

Agora calculamos as derivadas necessárias. Seja u(t)=A t^2 + B t:
yp = u e^t,
yp' = (u' + u)e^t = l(A t^2 + (2A+B)t + Br)e^t,
yp'' = (u'' + 2u' + u)e^t = l(A t^2 + (4A+B)t + (2A+2B)r)e^t,
yp''' = (u''' + 3u'' + 3u' + u)e^t = l(A t^2 + (6A+B)t + (6A+3B)r)e^t

Passo 5

Substituindo na equação y''' + y'' -2y = t e^t e coletando termos em t:
(A t^2+(6A+B)t+(6A+3B)) + (A t^2+(4A+B)t+(2A+2B)) -2(A t^2+B t)e^t = t e^t.]
Os coeficientes em t^2 somam zero, e em t e termo constante ficam
l(10Ar) t + l(8A+5Br) = 1cdot t + 0

Passo 6

Igualando coeficientes:
10A = 1 implies A = 110,
8A + 5B = 0 implies 8cdot110 + 5B = 0 implies B = -425

Passo 7

Portanto a solução particular é
yp(t)=l(110t^2 - 425tr)e^t

Resposta

yp(t)=l(110t^2 - 425tr)e^t

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