Nos problemas 27-32, determine a forma de uma solução particular para a equação diferencial. (Não determine os coeficientes.)
y^prime prime-y^prime-12 y=2 t^6 e^-3 t

Passo 1

Estamos lidando com uma equação diferencial linear de 2º ordem com segundo membro da forma de um polinômio vezes exponencial, ou seja, do tipo p(t)e^alpha t. Vamos usar o método de coeficientes a determinar para encontrar a forma geral de uma solução particular sem calcular seus coeficientes específicos.

Passo 2

Analisamos a equação característica associada à parte homogênea:
r^2 - r - 12 = 0
Resolvendo, obtemos as raízes r = 4 e r = -3.

Passo 3

Como o segundo membro é 2t^6 e^-3t e alpha = -3 coincide com uma raiz simples r=-3 da equação característica, multiplicamos o ansatz padrão por um fator t^s, com s = 1 (a multiplicidade da raiz).

Passo 4

O polinômio p(t) tem grau 6, pois o termo não-homogêneo é t^6 e^-3t. Então assumimos um ansatz do tipo: um polinômio genérico de grau 6 multiplicado por t e^-3t.

Resposta

A forma de uma solução particular é
yp(t) = t e^-3t l(A6 t^6 + A5 t^5 + A4 t^4 + A3 t^3 + A2 t^2 + A1 t + A0r) onde A0, A1, dots, A6 são coeficientes a determinar.

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