Nos problemas
, use o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular para a equação de ordem mais alta dada.
Passo 1
A EDO dada é 2 y’’’ + 3 y’’ + y’ – 4 y = e^{-t}, que é uma equação linear de coeficientes constantes de 3ª ordem. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados para achar uma solução particular.
Passo 2
Primeiro buscamos o polinômio característico da parte homogênea: 2 r^3 + 3 r^2 + r – 4 = 0. Como o termo não-homogêneo é e^{-t}, testamos r = –1 no polinômio característico: P(-1) = 2(−1)^3 + 3(−1)^2 + (−1) – 4 = -4 ≠ 0, logo não há ressonância.
Passo 3
Sem ressonância, propomos uma solução particular da forma y_p = A e^{-t}, onde A é constante indeterminada.
Passo 4
Calculamos as derivadas de y_p: y_p’ = -A e^{-t}, y_p’’ = A e^{-t}, y_p’’’ = -A e^{-t}.
Passo 5
Substituímos na equação original:
[2(−A e^{-t}) + 3(A e^{-t}) + (−A e^{-t}) – 4(A e^{-t}) = e^{-t}],
o que simplifica para
[(-2A + 3A - A - 4A) e^{-t} = -4A e^{-t} = e^{-t}].
[2(−A e^{-t}) + 3(A e^{-t}) + (−A e^{-t}) – 4(A e^{-t}) = e^{-t}],
o que simplifica para
[(-2A + 3A - A - 4A) e^{-t} = -4A e^{-t} = e^{-t}].
Passo 6
Então temos -4A = 1, de onde A = -\tfrac{1}{4}.
Passo 7
Portanto, uma solução particular é y_p(t) = -\tfrac{1}{4} e^{-t}.
Resposta
y_p(t) = -\tfrac{1}{4} e^{-t}