Seja
.
Calcule a derivada direcional de
no ponto
na direção de
.
Calcule a derivada direcional de
Passo 1
A questão pede a derivada direcional de
no ponto
na direção de
. O conteúdo aqui é derivada direcional: vamos usar que
, onde
é o vetor unitário na direção dada.
Passo 2
Para encontrar
, calculamos as derivadas parciais usando regra do produto e cadeia. Temos:
$$f_y(x,y)=-\sin\bigl(\pi(x2+y2)\bigr) - y\cdot\cos\bigl(\pi(x2+y2)\bigr)\cdot\pi\cdot2y = -\sin\bigl(\pi(x2+y2)\bigr)-2\pi y2\cos\bigl(\pi(x2+y^2)\bigr).
$$
Passo 3
Avaliando em
, como
e
, obtemos
Logo,
Passo 4
O vetor dado é
. Primeiro normalizamos:
Passo 5
A derivada direcional é o produto escalar de
por
:
$$D_\mathbf u f(0,0)=1\cdot\tfrac12 + 0\cdot\tfrac{\sqrt3}2=\tfrac12.
$$