Seja f(x, y)=x-y sen(pi(x^2+y^2)).
Calcule a derivada direcional de f no ponto (0,0) na direção de v=(1, raiz3).

Passo 1

A questão pede a derivada direcional de f(x,y)=x - ysinl(pi(x^2+y^2)r) no ponto (0,0) na direção de v=(1,raiz3). O conteúdo aqui é derivada direcional: vamos usar que D u f(a)=nabla f(a)cdot u, onde u é o vetor unitário na direção dada.

Passo 2

Para encontrar nabla f(x,y), calculamos as derivadas parciais usando regra do produto e cadeia. Temos:
fx(x,y)=1 - ycdotcosl(pi(x^2+y^2)r)cdotpicdot2x = 1 - 2pi xycosl(pi(x^2+y^2)r),
$$f_y(x,y)=-\sin\bigl(\pi(x2+y2)\bigr) - y\cdot\cos\bigl(\pi(x2+y2)\bigr)\cdot\pi\cdot2y = -\sin\bigl(\pi(x2+y2)\bigr)-2\pi y2\cos\bigl(\pi(x2+y^2)\bigr).
$$

Passo 3

Avaliando em (0,0), como sin0=0 e cos0=1, obtemos
fx(0,0)=1, fy(0,0)=0
Logo, nabla f(0,0)=(1,0)

Passo 4

O vetor dado é v=(1,raiz3). Primeiro normalizamos:
| v|=raiz1^2+(raiz3)^2=2, u= v| v|=(tfrac12,tfracraiz32)

Passo 5

A derivada direcional é o produto escalar de nabla f(0,0)=(1,0) por u=(tfrac12,tfracraiz32):
$$D_\mathbf u f(0,0)=1\cdot\tfrac12 + 0\cdot\tfrac{\sqrt3}2=\tfrac12.
$$

Resposta

tfrac12

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