Calcule as integrais.
integral 22 x^2+3 x+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral 22x^2+3x+1,dx. O conteúdo aqui é integração de função racional e vamos usar decomposição em frações parciais, pois o denominador é um polinômio quadrático que se fatora.

Passo 2

Vamos fatorar o denominador 2x^2+3x+1.
[
2x^2+3x+1 = (2x+1)(x+1)
]

Passo 3

Expressamos a função como soma de frações parciais:
[
\frac{2}{(2x+1)(x+1)} = \frac{A}{2x+1} + \frac{B}{x+1}
]

Passo 4

Multiplicamos por (2x+1)(x+1) e igualamos:
[
2 = A(x+1) + B(2x+1)
]
Expandindo,
[
A(x+1) + B(2x+1) = (A+2B)x + (A+B)
]
Comparamos coeficientes e obtemos o sistema:
[
A + 2B = 0, \quad A + B = 2
]
Da primeira equação A=-2B. Substituindo na segunda: -2B + B = 2 implies -B=2 implies B=-2. Logo A=4.

Passo 5

Substituindo na integral, temos
[
\int \frac{2}{2x^2+3x+1},dx = \int \Bigl(\frac{4}{2x+1} - \frac{2}{x+1}\Bigr),dx = 4\int \frac{1}{2x+1},dx - 2\int \frac{1}{x+1},dx
]
Agora usamos integrais básicas:
integral 12x+1,dx = 12ln|2x+1| + C1
integral 1x+1,dx = ln|x+1| + C2.

Passo 6

Reunindo os resultados e agrupando constantes, obtemos
[
4 \cdot \frac{1}{2}\ln|2x+1| - 2 \ln|x+1| + C = 2\ln|2x+1| - 2\ln|x+1| + C
]

Resposta

2\ln|2x+1| - 2\ln|x+1| + C

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