Calcule as integrais.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
. O conteúdo aqui é integração de função racional e vamos usar decomposição em frações parciais, pois o denominador é um polinômio quadrático que se fatora.
Passo 2
Vamos fatorar o denominador
.
[
2x^2+3x+1 = (2x+1)(x+1)
]
[
2x^2+3x+1 = (2x+1)(x+1)
]
Passo 3
Expressamos a função como soma de frações parciais:
[
\frac{2}{(2x+1)(x+1)} = \frac{A}{2x+1} + \frac{B}{x+1}
]
[
\frac{2}{(2x+1)(x+1)} = \frac{A}{2x+1} + \frac{B}{x+1}
]
Passo 4
Multiplicamos por
e igualamos:
[
2 = A(x+1) + B(2x+1)
]
Expandindo,
[
A(x+1) + B(2x+1) = (A+2B)x + (A+B)
]
Comparamos coeficientes e obtemos o sistema:
[
A + 2B = 0, \quad A + B = 2
]
Da primeira equação . Substituindo na segunda:
. Logo
.
[
2 = A(x+1) + B(2x+1)
]
Expandindo,
[
A(x+1) + B(2x+1) = (A+2B)x + (A+B)
]
Comparamos coeficientes e obtemos o sistema:
[
A + 2B = 0, \quad A + B = 2
]
Da primeira equação
Passo 5
Substituindo na integral, temos
[
\int \frac{2}{2x^2+3x+1},dx = \int \Bigl(\frac{4}{2x+1} - \frac{2}{x+1}\Bigr),dx = 4\int \frac{1}{2x+1},dx - 2\int \frac{1}{x+1},dx
]
Agora usamos integrais básicas:
.
[
\int \frac{2}{2x^2+3x+1},dx = \int \Bigl(\frac{4}{2x+1} - \frac{2}{x+1}\Bigr),dx = 4\int \frac{1}{2x+1},dx - 2\int \frac{1}{x+1},dx
]
Agora usamos integrais básicas:
Passo 6
Reunindo os resultados e agrupando constantes, obtemos
[
4 \cdot \frac{1}{2}\ln|2x+1| - 2 \ln|x+1| + C = 2\ln|2x+1| - 2\ln|x+1| + C
]
[
4 \cdot \frac{1}{2}\ln|2x+1| - 2 \ln|x+1| + C = 2\ln|2x+1| - 2\ln|x+1| + C
]
Resposta
2\ln|2x+1| - 2\ln|x+1| + C