Nos Problemas 1-30, use a álgebra adequada e o Teorema 7.2.1 para determinar a transformada inversa de Laplace pedida.
4. \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{4}}\right\}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: a transformada em s \displaystyle \frac{1}{s^{4}}.
  • Pedido: calcular a transformada inversa de Laplace \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s^{4}}\right\}, ou seja, encontrar a função f(t) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}=\dfrac{1}{s^{4}}.
  • Observação: presume-se que estamos trabalhando com t\ge 0 e com a definição usual da transformada de Laplace.

Passo 2

Lembrete/teorema útil (Teorema usado): para todo inteiro não negativo n,
\mathcal{L}\{t^{n}\}=\frac{n!}{s^{n+1}}.
Explicando essa fórmula: aqui t é a variável do tempo (a função que queremos no domínio do tempo), s é a variável complexa da transformada, n! (fatorial de n) significa n\times(n-1)\times\cdots\times1 (por exemplo, 3!=3\cdot2\cdot1=6). A fórmula diz que a transformada de t^{n} é uma potência de s no denominador multiplicada por n!.

Passo 3

Aplicando o teorema ao caso que nos interessa: note que, escolhendo n=3, a fórmula dá
\mathcal{L}\{t^{3}\}=\frac{3!}{s^{4}}=\frac{6}{s^{4}}.
Ou seja, a transformada de t^{3} é \dfrac{6}{s^{4}}.

Passo 4

Agora faça a correspondência com o que temos: \dfrac{1}{s^{4}} é igual a \dfrac{1}{6} vezes \dfrac{6}{s^{4}}. Assim
\frac{1}{s^{4}}=\frac{1}{6}\cdot\frac{6}{s^{4}}=\frac{1}{6}\,\mathcal{L}\{t^{3}\}.
Pela linearidade da transformada inversa de Laplace, isso implica
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{4}}\right\}=\frac{1}{6}\,t^{3}.

Passo 5

Verificação rápida (opcional, mas ajuda a fixar): aplicando a transformada direta em \dfrac{1}{6}t^{3} obtém-se \dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{6}{s^{4}}=\dfrac{1}{s^{4}}, confirmando que a função encontrada é correta.

Resposta

\dfrac{t^{3}}{6}

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