Nos Problemas 1-30, use a álgebra adequada e o Teorema 7.2.1 para determinar a transformada inversa de Laplace pedida.
4.
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Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado: a transformada em
. - Pedido: calcular a transformada inversa de Laplace
, ou seja, encontrar a função tal que . - Observação: presume-se que estamos trabalhando com
e com a definição usual da transformada de Laplace.
Passo 2
Lembrete/teorema útil (Teorema usado): para todo inteiro não negativo
,
Explicando essa fórmula: aqui
é a variável do tempo (a função que queremos no domínio do tempo),
é a variável complexa da transformada,
(fatorial de
) significa
(por exemplo,
). A fórmula diz que a transformada de
é uma potência de
no denominador multiplicada por
.
Passo 3
Aplicando o teorema ao caso que nos interessa: note que, escolhendo
, a fórmula dá
Ou seja, a transformada de
é
.
Passo 4
Agora faça a correspondência com o que temos:
é igual a
vezes
. Assim
Pela linearidade da transformada inversa de Laplace, isso implica
Passo 5
Verificação rápida (opcional, mas ajuda a fixar): aplicando a transformada direta em
obtém-se
, confirmando que a função encontrada é correta.