Nos Problemas 1-30, use a álgebra adequada e o Teorema 7.2.1 para determinar a transformada inversa de Laplace pedida.
14. \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s+1}{s^{2}+2}\right\}
Passo 1
O enunciado pede a transformada inversa de Laplace
Aqui a é a frequência angular; t é a variável do tempo; e s é a variável da transformada. Essas relações permitem identificar termos da forma \dfrac{s}{s^{2}+a^{2}} e \dfrac{a}{s^{2}+a^{2}} com \cos(at) e \sin(at), respectivamente.
Passo 3
Separe a fração original em duas parcelas que a linearidade permita inverter separadamente:
Isto é apenas álgebra básica (somar frações com o mesmo denominador).
Passo 4
Identifique a primeira parcela com a transformada de \cos(at).
Compare \dfrac{s}{s^{2}+2} com \dfrac{s}{s^{2}+a^{2}}. Aqui a^{2}=2, logo a=\sqrt{2}.
Pelo item anterior,
logo está correto. Dica prática para a prova: sempre tente decompor numerador em parte "proporcional a s" e parte "proporcional a a" para identificar \cos(at) e \sin(at).