Nos Problemas 1-30, use a álgebra adequada e o Teorema 7.2.1 para determinar a transformada inversa de Laplace pedida.
14. \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s+1}{s^{2}+2}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s+1}{s^{2}+2}\right\}.
Portanto a pergunta é: encontrar a função f(t) tal que
\mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{s+1}{s^{2}+2}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A transformada de Laplace a inverter é \dfrac{s+1}{s^{2}+2}.
  • Não há outros dados ou parâmetros extras.

Passo 2

Relembre duas propriedades fundamentais que usaremos (explicadas de forma bem direta):
  • Linearidade da transformada inversa: para quaisquer funções F(s) e G(s) e escalar c,
\mathcal{L}^{-1}\{F(s)+G(s)\}=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}+\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}, \qquad \mathcal{L}^{-1}\{c\,F(s)\}=c\,\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}.
Isto significa que podemos separar frações somadas e inverter cada parcela.
  • Fórmulas padrão (isto é provavelmente o conteúdo do Teorema 7.2.1 que o enunciado citou): para a>0,
\mathcal{L}\{\cos(at)\}=\frac{s}{s^{2}+a^{2}}, \qquad \mathcal{L}\{\sin(at)\}=\frac{a}{s^{2}+a^{2}}.
Aqui a é a frequência angular; t é a variável do tempo; e s é a variável da transformada. Essas relações permitem identificar termos da forma \dfrac{s}{s^{2}+a^{2}} e \dfrac{a}{s^{2}+a^{2}} com \cos(at) e \sin(at), respectivamente.

Passo 3

Separe a fração original em duas parcelas que a linearidade permita inverter separadamente:
\frac{s+1}{s^{2}+2}=\frac{s}{s^{2}+2}+\frac{1}{s^{2}+2}.
Isto é apenas álgebra básica (somar frações com o mesmo denominador).

Passo 4

Identifique a primeira parcela com a transformada de \cos(at).
Compare \dfrac{s}{s^{2}+2} com \dfrac{s}{s^{2}+a^{2}}. Aqui a^{2}=2, logo a=\sqrt{2}.
Pelo item anterior,
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s}{s^{2}+2}\right\}=\cos\!\big(\sqrt{2}\,t\big).

Passo 5

Trate a segunda parcela \dfrac{1}{s^{2}+2}. Use a forma para \sin(at):
\frac{a}{s^{2}+a^{2}} \xrightarrow{\mathcal{L}^{-1}} \sin(at).
Com a=\sqrt{2} temos \dfrac{\sqrt{2}}{s^{2}+2} associado a \sin(\sqrt{2}\,t). Então escrevemos
\frac{1}{s^{2}+2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{s^{2}+2},
e, usando linearidade,
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{2}+2}\right\} =\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\!\big(\sqrt{2}\,t\big).

Passo 6

Combine as duas inversas (novamente pela linearidade):
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s+1}{s^{2}+2}\right\} =\cos\!\big(\sqrt{2}\,t\big)+\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\!\big(\sqrt{2}\,t\big).

Passo 7

Verificação rápida (opcional, mas útil na prova): aplicar \mathcal{L} no resultado obtido deve retornar a razão inicial.
\mathcal{L}\!\left\{\cos(\sqrt{2}t)+\frac{1}{\sqrt{2}}\sin(\sqrt{2}t)\right\} =\frac{s}{s^{2}+2}+\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{s^{2}+2} =\frac{s+1}{s^{2}+2},
logo está correto. Dica prática para a prova: sempre tente decompor numerador em parte "proporcional a s" e parte "proporcional a a" para identificar \cos(at) e \sin(at).

Resposta

\cos\!\big(\sqrt{2}\,t\big)+\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\!\big(\sqrt{2}\,t\big)

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