Nos Problemas 1-30, use a álgebra adequada e o Teorema 7.2.1 para determinar a transformada inversa de Laplace pedida.
5. \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{(s+1)^{3}}{s^{4}}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a transformada inversa de Laplace da função
\frac{(s+1)^{3}}{s^{4}}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A expressão no domínio de s é \dfrac{(s+1)^{3}}{s^{4}}.
  • O objetivo é calcular \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{(s+1)^{3}}{s^{4}}\right\}, isto é, encontrar a função de t cuja transformada de Laplace é a expressão dada.

Passo 2

Recordando duas ideias-chave que usaremos (aqui é onde aplicamos o resultado padrão pedido pelo enunciado):
  • Linearidade da transformada de Laplace: se F(s)=aG(s)+bH(s) então \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}=a\,\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}+b\,\mathcal{L}^{-1}\{H(s)\}. Ou seja, podemos inverter termo a termo.
  • Fórmula padrão para potências de t (este é o conteúdo do Teorema 7.2.1 que se usa com frequência):
\mathcal{L}\{t^{n}\}=\frac{n!}{s^{n+1}}\quad\text{para }n\in\{0,1,2,\dots\}.
Invertendo essa relação obtemos
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{k}}\right\}=\frac{t^{k-1}}{(k-1)!}\quad\text{para }k\in\{1,2,3,\dots\}.
Explicando de forma bem concreta: por exemplo \mathcal{L}^{-1}\{1/s\}=1, \mathcal{L}^{-1}\{1/s^{2}\}=t, \mathcal{L}^{-1}\{1/s^{3}\}=t^{2}/2, e assim por diante.

Passo 3

Vamos manipular algebricamente a função em s para escrever como soma de potências de 1/s, o que facilita aplicar a inversa termo a termo.
Primeiro expandir o numerador usando o binômio de Newton:
(s+1)^{3}=s^{3}+3s^{2}+3s+1.

Passo 4

Dividir cada termo por s^{4}:
\frac{(s+1)^{3}}{s^{4}}=\frac{s^{3}}{s^{4}}+\frac{3s^{2}}{s^{4}}+\frac{3s}{s^{4}}+\frac{1}{s^{4}} =\frac{1}{s}+ \frac{3}{s^{2}}+\frac{3}{s^{3}}+\frac{1}{s^{4}}.

Passo 5

Aplicar a transformada inversa termo a termo usando a fórmula do Passo 2:
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s}\right\}=1.
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{3}{s^{2}}\right\}=3\cdot \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s^{2}}\right\}=3\cdot t.
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{3}{s^{3}}\right\}=3\cdot \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s^{3}}\right\}=3\cdot \frac{t^{2}}{2}=\frac{3}{2}t^{2}.
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s^{4}}\right\}=\frac{t^{3}}{3!}=\frac{t^{3}}{6}.
Somando os termos:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{(s+1)^{3}}{s^{4}}\right\} =1 + 3t + \frac{3}{2}t^{2} + \frac{1}{6}t^{3}.

Passo 6

Verificação rápida (opcional, mas bom pra confiança): aplicar a transformada de Laplace ao resultado e checar que volta à expressão original. Usando \mathcal{L}\{1\}=1/s, \mathcal{L}\{t\}=1/s^{2}, \mathcal{L}\{t^{2}\}=2/s^{3}, \mathcal{L}\{t^{3}\}=6/s^{4}, obtém-se
\frac{1}{s}+3\cdot\frac{1}{s^{2}}+ \frac{3}{2}\cdot\frac{2}{s^{3}}+\frac{1}{6}\cdot\frac{6}{s^{4}} =\frac{1}{s}+\frac{3}{s^{2}}+\frac{3}{s^{3}}+\frac{1}{s^{4}} =\frac{(s+1)^{3}}{s^{4}},
confirmando que a inversa está correta.

Resposta

1 + 3t + \dfrac{3}{2}t^{2} + \dfrac{1}{6}t^{3}

Exercícios relacionados