Nos Problemas 1-30, use a álgebra adequada e o Teorema 7.2.1 para determinar a transformada inversa de Laplace pedida.
5.
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Passo 1
O enunciado pede para determinar a transformada inversa de Laplace da função
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A expressão no domínio de
é . - O objetivo é calcular
, isto é, encontrar a função de cuja transformada de Laplace é a expressão dada.
Passo 2
Recordando duas ideias-chave que usaremos (aqui é onde aplicamos o resultado padrão pedido pelo enunciado):
- Linearidade da transformada de Laplace: se
então . Ou seja, podemos inverter termo a termo. - Fórmula padrão para potências de
(este é o conteúdo do Teorema 7.2.1 que se usa com frequência):
Invertendo essa relação obtemos
Explicando de forma bem concreta: por exemplo
,
,
, e assim por diante.
Passo 3
Vamos manipular algebricamente a função em
para escrever como soma de potências de
, o que facilita aplicar a inversa termo a termo.
Primeiro expandir o numerador usando o binômio de Newton:
Passo 4
Dividir cada termo por
:
Passo 5
Aplicar a transformada inversa termo a termo usando a fórmula do Passo 2:
-
. -
. -
. -
.
Somando os termos:
Passo 6
Verificação rápida (opcional, mas bom pra confiança): aplicar a transformada de Laplace ao resultado e checar que volta à expressão original. Usando
,
,
,
, obtém-se
confirmando que a inversa está correta.