Nos Problemas 1-30, use a álgebra adequada e o Teorema 7.2.1 para determinar a transformada inversa de Laplace pedida.
18.
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Passo 1
O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função no domínio
:
Informações dadas relevantes:
- A expressão no domínio é a função racional
. - O objetivo é encontrar a função no tempo
tal que .
Passo 2
Escolha do método: como o numerador tem grau menor que o denominador e o denominador é um polinômio quadrático que pode ser fatorado em fatores lineares reais, o método mais simples é decompor em frações parciais e aplicar as transformadas inversas conhecidas. Vou usar também a propriedade básica da transformada de Laplace:
que, invertendo, dá
(É essa a ideia do Teorema 7.2.1 mencionado: identificar termos da forma
e transformá-los em exponenciais.)
Passo 3
Fatorar o denominador. Vamos encontrar raízes de
. Resolver a equação quadrática:
Logo as raízes são
e
. Assim o polinômio se fatoriza:
Passo 4
Fazer a decomposição em frações parciais. Escrevemos
onde
e
são constantes a determinar. Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade:
Para achar
e
podemos usar o método de substituição direta (cover-up):
- Tomando
obtemos , logo
- Tomando
obtemos , logo
Portanto a decomposição é
Passo 5
Aplicar a transformada inversa termo a termo usando
. Assim,
Repare que o segundo termo na decomposição tinha sinal negativo, então a combinação dá
Passo 6
Verificação rápida (checagem): calcular a transformada de Laplace de
:
o que confirma que a inversa encontrada está correta (considerando a região de convergência
, imposta pelo termo
).