Nos Problemas 1-30, use a álgebra adequada e o Teorema 7.2.1 para determinar a transformada inversa de Laplace pedida.
18. \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{2}+s-20}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função no domínio s:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{2}+s-20}\right\}.
Informações dadas relevantes:
  • A expressão no domínio é a função racional \dfrac{1}{s^{2}+s-20}.
  • O objetivo é encontrar a função no tempo f(t) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}=\dfrac{1}{s^{2}+s-20}.

Passo 2

Escolha do método: como o numerador tem grau menor que o denominador e o denominador é um polinômio quadrático que pode ser fatorado em fatores lineares reais, o método mais simples é decompor em frações parciais e aplicar as transformadas inversas conhecidas. Vou usar também a propriedade básica da transformada de Laplace:
\mathcal{L}\{e^{at}\}=\frac{1}{s-a}\quad(\text{para } \Re(s)>a),
que, invertendo, dá
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s-a}\right\}=e^{at}\quad(t\ge 0).
(É essa a ideia do Teorema 7.2.1 mencionado: identificar termos da forma \dfrac{1}{s-a} e transformá-los em exponenciais.)

Passo 3

Fatorar o denominador. Vamos encontrar raízes de s^{2}+s-20. Resolver a equação quadrática:
s^{2}+s-20=0 \quad\Rightarrow\quad s=\frac{-1\pm\sqrt{1+80}}{2}=\frac{-1\pm9}{2}.
Logo as raízes são s=4 e s=-5. Assim o polinômio se fatoriza:
s^{2}+s-20=(s-4)(s+5).

Passo 4

Fazer a decomposição em frações parciais. Escrevemos
\frac{1}{(s-4)(s+5)}=\frac{A}{s-4}+\frac{B}{s+5},
onde A e B são constantes a determinar. Multiplicando ambos os lados por (s-4)(s+5) obtemos a identidade:
1 = A(s+5)+B(s-4).
Para achar A e B podemos usar o método de substituição direta (cover-up):
  • Tomando s=4 obtemos 1=A(4+5)=9A, logo
A=\frac{1}{9}.
  • Tomando s=-5 obtemos 1=B(-5-4)=-9B, logo
B=-\frac{1}{9}.
Portanto a decomposição é
\frac{1}{(s-4)(s+5)}=\frac{1/9}{s-4}-\frac{1/9}{s+5}.

Passo 5

Aplicar a transformada inversa termo a termo usando \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s-a}\}=e^{at}. Assim,
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1/9}{s-4}\right\}=\frac{1}{9}e^{4t}, \qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1/9}{s+5}\right\}=\frac{1}{9}e^{-5t}.
Repare que o segundo termo na decomposição tinha sinal negativo, então a combinação dá
f(t)=\frac{1}{9}e^{4t}-\frac{1}{9}e^{-5t},\quad t\ge 0.

Passo 6

Verificação rápida (checagem): calcular a transformada de Laplace de f(t):
\mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{1/9}{s-4}-\frac{1/9}{s+5}=\frac{1}{(s-4)(s+5)}=\frac{1}{s^{2}+s-20},
o que confirma que a inversa encontrada está correta (considerando a região de convergência \Re(s)>4, imposta pelo termo e^{4t}).

Resposta

\dfrac{1}{9}e^{4t}-\dfrac{1}{9}e^{-5t}

Exercícios relacionados