Questão 1) Encontre as soluções das equações abaixo, separando variáveis.
\frac{d y}{d x}=e^{x+y}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as soluções da equação diferencial dada, usando separação de variáveis. A equação fornecida é
\frac{d y}{d x}=e^{x+y}.
Informações relevantes do enunciado:
  • A incógnita é a função y(x).
  • Não foi dada condição inicial, logo devemos encontrar a solução geral (com constante arbitrária).
  • A equação está na forma de derivada primeira e é adequada para o método de separação de variáveis.

Passo 2

Explicando a ideia de separação de variáveis (aquela “mágica” que faz x de um lado e y do outro):
Quando a equação pode ser escrita como uma função de x multiplicando uma função de y, podemos rearranjar para ter termos com y e dy num lado e termos com x e dx no outro, e então integrar ambos os lados. Aqui temos
\frac{d y}{d x}=e^{x+y}.
Repare que e^{x+y}=e^{x}e^{y}. Vou separar as variáveis, colocando expressões que dependem só de y multiplicando dy num lado e só de x multiplicando dx no outro.

Passo 3

Fazendo a separação passo a passo:
\frac{d y}{d x}=e^{x}e^{y}
Dividindo ambos os lados por e^{y} e multiplicando por dx:
e^{-y}\,d y = e^{x}\,d x.
Agora as variáveis estão separadas: o lado esquerdo depende só de y e o direito só de x. Próximo passo: integrar ambos os lados.

Passo 4

Integrando os dois lados (explico cada integral):
  • A integral de e^{-y} em relação a y é -e^{-y}. Porque ao derivar -e^{-y} e^{-y} por regra da cadeia (multiplicando por -1 do expoente).
  • A integral de e^{x} em relação a x é e^{x}.
Portanto,
\int e^{-y}\,d y = \int e^{x}\,d x
- e^{-y} = e^{x} + C,
onde C é a constante de integração (número real arbitrário).

Passo 5

Organizando a constante para isolar y. Multiplico por -1:
e^{-y} = -e^{x} + C' ,
onde C'=-C é outra constante arbitrária (aqui só renomeei para ficar mais confortável). É comum escrever a solução em forma explícita para y. Tome cuidado com domínio: o lado direito deve ser positivo para que o logaritmo exista quando isolarmos y.
Invertendo a exponenciação:
e^{y} = \frac{1}{C' - e^{x}}.
Então aplico logaritmo natural para obter y:
y = -\ln\!\bigl(C' - e^{x}\bigr).

Passo 6

Interpretação da constante e domínio:
  • A constante C' é um número real arbitrário. Para que y(x) seja real e bem definida pelo logaritmo, precisamos ter
C' - e^{x} > 0 \quad\text{ou seja}\quad e^{x} < C'.
Isso significa que para cada valor de C' fixo, a solução explícita y(x)=-\ln(C'-e^{x}) está definida apenas onde e^{x}<C'. Se houver condições iniciais, elas determinam C' e o intervalo onde a solução existe. Também é possível deixar a solução em forma implícita
-e^{-y} = e^{x} + C
sem impor imediatamente restrições explícitas.

Passo 7

Verificação rápida (para ganhar confiança): diferencio a solução explícita e vejo se recupero a equação original. A partir de
e^{-y}=C' - e^{x},
derivando ambos os lados em relação a x:
-e^{-y}\frac{dy}{dx} = -e^{x}.
Cancelo o sinal negativo e isolo \dfrac{dy}{dx}:
e^{-y}\frac{dy}{dx}=e^{x}\quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx}=e^{x}e^{y}=e^{x+y},
que é justamente a equação dada. Boa — está consistente.

Resposta

y(x)=-\ln\!\bigl(C' - e^{x}\bigr), onde C' é constante arbitrária e a solução está definida para C' - e^{x}>0.

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