Questão 1) Encontre as soluções das equações abaixo, separando variáveis.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar as soluções da equação diferencial dada, usando separação de variáveis. A equação fornecida é
Informações relevantes do enunciado:
- A incógnita é a função
. - Não foi dada condição inicial, logo devemos encontrar a solução geral (com constante arbitrária).
- A equação está na forma de derivada primeira e é adequada para o método de separação de variáveis.
Passo 2
Explicando a ideia de separação de variáveis (aquela “mágica” que faz
de um lado e
do outro):
Quando a equação pode ser escrita como uma função de multiplicando uma função de
, podemos rearranjar para ter termos com
e
num lado e termos com
e
no outro, e então integrar ambos os lados. Aqui temos
Quando a equação pode ser escrita como uma função de
Repare que
. Vou separar as variáveis, colocando expressões que dependem só de
multiplicando
num lado e só de
multiplicando
no outro.
Passo 3
Fazendo a separação passo a passo:
Dividindo ambos os lados por
e multiplicando por
:
Agora as variáveis estão separadas: o lado esquerdo depende só de
e o direito só de
. Próximo passo: integrar ambos os lados.
Passo 4
Integrando os dois lados (explico cada integral):
- A integral de
em relação a é . Porque ao derivar dá por regra da cadeia (multiplicando por do expoente). - A integral de
em relação a é .
Portanto,
onde
é a constante de integração (número real arbitrário).
Passo 5
Organizando a constante para isolar
. Multiplico por
:
onde
é outra constante arbitrária (aqui só renomeei para ficar mais confortável). É comum escrever a solução em forma explícita para
. Tome cuidado com domínio: o lado direito deve ser positivo para que o logaritmo exista quando isolarmos
.
Invertendo a exponenciação:
Então aplico logaritmo natural para obter
:
Passo 6
Interpretação da constante e domínio:
- A constante
é um número real arbitrário. Para que seja real e bem definida pelo logaritmo, precisamos ter
Isso significa que para cada valor de
fixo, a solução explícita
está definida apenas onde
. Se houver condições iniciais, elas determinam
e o intervalo onde a solução existe. Também é possível deixar a solução em forma implícita
sem impor imediatamente restrições explícitas.
Passo 7
Verificação rápida (para ganhar confiança): diferencio a solução explícita e vejo se recupero a equação original. A partir de
derivando ambos os lados em relação a
:
Cancelo o sinal negativo e isolo
:
que é justamente a equação dada. Boa — está consistente.